Limite d'une suite

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Intéresse-toi à la monotonie et la bornitude pour montrer que ça converge (on se doute qu'on doit s'intéresser à ce problème rien que pour justifier que la suite est bien définie).
Ensuite une simple equation aux limites pour conclure.

Si j'ai écrit ça ainsi et non autrement c'est bien pour t'inciter à faire l'exercice toi-même en débarrassant même la résolution de la partie "prise d'initiative", c'est-à-dire au final la plus intéressante.
J'ai vendu la mèche sur l'idée, tout ce qu'il reste est de l'ordre de quelques calculs élémentaires à effectuer pour vérifier ce qu'Amédé et moi affirmons.
Pour le redire :

-Montre que c'est croissant et bien défini en même temps (besoin d'une récurrence pour la définition, à rédiger ou non mais je pense que tu débutes donc essaie de bien la faire)

-Montre que la suite est majorée (le fait que numérateur et dénominateur soient très semblables devrait te guider vers une astuce de calcul que tu as déjà dû rencontrer, ou pour prendre une artillerie lourde fais une décomposition en éléments simples ou une étude de fonction mais on part très loin alors qu'il y a très simple)

-Une fois la convergence établie il faut calculer la limite. Pour ça on utilise l'équation aux limites (si $l$ est la limite on écrit ta relation de récurrence en remplaçant les $u$ par $l$ - explique pourquoi avec un argument rigoureux au passage vu que tu ne sembles pas clair sur ces choses élémentaires), et une résolution donné deux racines possibles, dont une qui s'élimine facilement.

A savoir en x=0.5 le point fixe est répulsif et en x=6/5 est super attractif. Cette suite n'est pas facile à étudier comme ça. On applique la méthode de Gilles, c'est le plus simple. On trouve 1,2.

Déjà il faut prouver que la suite est bien définie, et ici ce n'est pas une coquetterie logisticienne, comme s'il s'agissait de la suite $u_{n+1}=10 u_n-6$.

bonsoir

on reprend l'exemple suggéré par Amédé : soit la suite (u) récurrente à deux termes consécutifs liés par une relation homographique :

$u_{n+1} = \frac{3u_n - 2}{2u_n + 5}$ avec u(0) fixé et la suite réciproque (v) est telle que $v_{n+1} = \frac{2 + 5v_n}{3 - 2v_n}$

nous allons voir que la suite (u) diverge vers un des deux points fixes complexes
et la suite réciproque (v) diverge également vers l'autre point fixe complexe qui est tout simplement le conjugué du premier

cherchons les points fixes de la suite (u) tels que x² + x + 1 = 0 soient les racines j et j² racines cubiques de l'unité

on cherche à montrer que (x) définie par $x_n = \frac{u_n - j}{u_n - j^2}$ est suite géométrique en étudiant le rapport

$$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\frac{u_{n+1} - j}{u_{n+1} - j^2}}{\frac{u_n - j}{u_n - j^2}} = \frac{3 - 2j}{3 - 2j^2} = \frac{4 - i\sqrt{3}}{4 + i\sqrt{3}} = e^{-2it}$$

quotient indépendant de n avec $tan(t) = \frac{\sqrt{3}}{4}$ et donc cos(2t) = 13/19 et $sin(2t) = \frac{8\sqrt{3}}{19}$

la suite (x) est donc explicitée avec $q = e^{-2it}$ de module égal à 1 et d'argument $-2t = - Arctan\frac{8\sqrt{3}}{13}$

et avec $x_0 = \frac{u_0 - j}{u_0 - j^2}$ soit donc : $x_n = x_0.e^{-2nit} = \frac{u_n - j}{u_n - j^2}$ il vient en conséquence :

$$u_n = \frac{j - x_0j^2e^{-2nit}}{1 - x_0e^{-2nit}}$$

et pour n infini le terme général $u_n$ tend vers j qui est l'abscisse de l'un des points fixes

les abscisses des points fixes de la suite (v) sont également j et $j^2$ et nous considérons la suite $y_n = \frac{v_n - j^2}{v_n - j}$

nous allons montrer que (y) est également suite géométrique en considérant le rapport

$\frac{y_{n+1}}{y_n}= \frac{5+2j^2}{5+2j}=\frac{4 - i\sqrt{3}}{4 + i\sqrt{3}} = e^{-2it}$ indépendant de n et donc $y_n = y_0.e^{-2nit}$

et puisque $y_n = \frac{v_n - j^2}{v_n - j}$ il vient : $$v_n = j^2\frac{1 - j^2y_0e^{-2nit}}{1 - y_0e^{-2nit}}$$

qui tend vers $j^2$ pour n infini

cordialement

bonjour,

rien à voir mais tu es prof de sup où?

@RLC il y a un truc que je n'ai pas compris dans ton propos. Tu dis :

RLC a écrit:

Partant, si le premier terme est dans l'intervalle, par stabilité de l'intervalle la suite est croissante et donc converge (vers 1,2).

Donc tu dis qu'un argument élémentaire est que la suite est croissante et majorée donc elle converge. Mais à moins que quelque chose m'échappe je ne vois pas de croissance dans cette suite.

Par exemple en démarrant à $u_0=0.8$ on obtient les termes suivants :

0.8
2.0
1.0769230769230769
1.2653061224489797
1.1768953068592058
1.2096896290688872
1.1961978315758206
1.2015325211769283

On voit bien que ça oscille autour du pont fixe 1.2.

Pas de problème. J'avoue que moi personnellement j'y serais allé comme un bûcheron en utilisant une des méthodes de Chaurien : il existe un intervalle stable sur lequel $f$ est strictement contractante.

@Riemann. Dommage je cherchais pour faire des khôlles l'année prochaine