Inégalité fonction convexe

OShine · June 2021

Bonjour
Je dispose d'un corrigé mais j'aimerais savoir comment trouver l'idée pour résoudre cet exercice.

Soit $f$ une fonction continue de $\R$ dans $\R$ et vérifiant $\forall (x,y) \in \R^2, \ \ f\big(\dfrac{x+y}{2}\big) \leq \dfrac{f(x)+f(y)}{2}.$
Montrer que $f$ est convexe.

Apparemment il s'agit d'une histoire de densité mais je ne comprends pas trop.

Poirot · June 2021

L'idée c'est que tu disposes de la propriété de convexité, mais uniquement pour $\lambda = 1/2$. Mais comme tu le sais en tout points $x,y$, en réfléchissant, tu en disposes aussi pour $\lambda = 1/4$, $\lambda = 1/8$, etc. Puis pour tout $\lambda$ de la forme $\frac{k}{2^n}$, où $0 \leq k < 2^n$. C'est la densité de ces derniers nombres dans $[0, 1]$ qui permet alors de conclure. Au travail !

Alexique · June 2021

Amnésie
Honnêtement, si quand on se casse la tête à te faire comprendre des trucs, ça part aux oubliettes, alors n’importe quel concours qui demande d’avoir une synthèse de plus de 3 années de maths en tête est hors de portée.
Même moi je m’en souviens et j’ai encore déterré ce topic il y a 2 semaines de ça.
Soit tu m’ignores, soit tu ne sais pas lire/cliquer un lien, soit tu as Alzeimer. Je ne sais pas ce qu’il vaut mieux pour toi.

bd2017 · June 2021

Bon, Aïe, Aie. Il faut changer rapidement l'exercice pour sauver l'honneur.

Soit $f$ une fonction continue définie sur un intervalle $I$ de $\R$ vérifiant pour tout $x,y$ dans $I$ :
$ f\big(\dfrac{x+2y}{3}\big) \leq \dfrac{ f(x)+2 f(y)}{3}. $

Question. $f$ est-elle convexe ?

Calli · June 2021

Bonjour,
On peut généraliser. Soit $f:\Bbb R\to\Bbb R$ localement majorée et telle que $\exists\lambda\in{]0,1[}, \forall (x,y)\in\Bbb R^2, f(\lambda x+(1-\lambda) y)\leqslant \lambda f(x)+(1-\lambda)f( y)$. $f$ est-elle convexe ? Bon, je ne m'adresse pas à OShine, là.
Au passage, il manque la fin de l'énoncé dans le premier message.

[small]Edit : Ce n'est pas vraiment une question que je pose, parce que j'ai la réponse. Mais vu la formulation de l'exercice précédent de bd2017, je ne voulais pas donner la conclusion.[/small]

Amédé · June 2021

Bonjour,

C'est quoi la question?

Amédé · June 2021

En tout cas c'est la même inégalité que dans ton post sur Hölder et Minkowsky

OShine · June 2021

Alexique je ne connaissais pas le cours sur les fonctions convexes à l'époque.
Je n'avais pas les connaissances pour résoudre l'exercice.

Poirot ok merci.

OShine · June 2021

La question est de montrer que $f$ est convexe.

Maintenant que je connais le cours sur la convexité, ça devrait me simplifier la tâche.

@Bd2017
Je suis déjà occupé avec mon exercice.

Pour $\lambda=1/4$ je trouve $f(\dfrac{x+y}{4}) \leq \dfrac{f(x)+f(y)}{4}$

Il semble qu'il faut démontrer par récurrence que $\forall n \in \N^{*} \ f(\dfrac{x+y}{2^n}) \leq \dfrac{f(x)+f(y)}{2^n}$

Riemann_lapins_cretins · June 2021

Tu n'avais besoin d'aucun cours sur les fonctions convexes pour faire cet exercice à l'époque. Tout est dans le vieux topic, c'est très énervant.

OShine · June 2021

Ok je vais le relire.

Il me semble quand même qu'après avoir étudié les fonctions convexes on développe certains réflexes.

Riemann_lapins_cretins · June 2021

Pas vraiment. On n'utilise aucune propriété des fonctions convexes, ou aucune caractérisation par exemple par les dérivées.
C'est un pur problème de compréhension de la topologie d'un segment et du fait qu'on puisse approcher n'importe quel réel de [0,1] par un dyadique, avec un procédé algorithmique simple.
Le plus dur est de loin de le formaliser comme je l'avais dit sur le topic de l'époque, mais cela a été fait aussi.

Plutôt que de tricher en allant le revoir autant que l'exercice soit productif.
Par exemple explique-moi pourquoi ton égalité avec 1/4 n'a pas vraiment d'intérêt en plus de n'avoir aucun lien avec la convexité (et donc se révèle fausse en général). Parce que dire que le cours sur la notion nous éclaire et écrire ça ensuite c'est un peu ironique.

Amédé · June 2021

Comment on montre que, sachant $f\left(\dfrac{x+y}{2}\right)\leq\dfrac{f(x)+f(y)}{2}$, que l'on a $f\left(\dfrac{x+y}{4}\right)\leq\dfrac{f(x)+f(y)}{4}$ ?

edit: j'ai trouvé.

Riemann_lapins_cretins · June 2021

Et pour la fonction constante égale à 1 par exemple ?

OShine · June 2021

@Riemann
C'est un bon moyen de voir un an après, avec le recul si j'ai progressé. Je n'ai pas encore été voir le topic. J'essaie de trouver par moi-même avant.

Bien vu mon inégalité est fausse si on prend la fonction constante égale à $1$.

Riemann_lapins_cretins · June 2021

D'où l'éternel : fais un dessin.

bd2017 · June 2021

@Oshine a écrit:

C'est un bon moyen de voir un an après, avec le recul si j'ai progressé. Je n'ai pas encore été
voir le topic. J'essaie de trouver par moi-même avant.

Si on compare ce que tu proposes aujourd'hui ("il semble qu'il faut démontrer ...." )
avec ce que tu avais dit il y a un an même question il y a un an

c'est moins bien aujourd'hui.

OShine · June 2021

J'ai fait un dessin. Soit $A$ la partie $A=\{ x \in [0,1] \ | \ \exists k \in [|0,2^n|] \ x=\dfrac{k}{2^n} \}$.

Montrons que $A$ est dense dans $[0,1]$.

On a clairement $A \subset [0,1]$.
Soient $x,y \in [0,1]$ vérifiant $x<y$. Choisissons $n_0 \in \N$ de sorte que $\dfrac{1}{2^{n_0}} \leq y-x$ (le pas de la subdivision est plus petit que $y-x$ ce qui permettra d'intercaler un élément de $A$ entre $x$ et $y$)

Posons $k_0= \max \{ k \in \N \ | \ \dfrac{k}{2^{n_0}} \leq x \}$ qui est bien défini car l'ensemble est non vide et fini.

On a alors $\dfrac{k_0+1}{2^{n_0}} \geq x$ par définition. De plus $\dfrac{k_0+1}{2^{n_0}} \leq x+y-x \leq y$

Finalement, on a montré que $x \leq \dfrac{k_0+1}{2^{n_0}} \leq y$

Conclusion : $A=\{ x \in [0,1] \ | \ \exists k \in [|0,2^n|] \ x=\dfrac{k}{2^n} \}$ est dense dans $[0,1]$.

Par contre, je ne vois pas comment appliquer ça à l'exercice :-S

Pour $\lambda=\dfrac{1}{4}$ on a $f(x/4+ (3y)/4) =f(\dfrac{1}{2} \dfrac{x+y}{2}+\dfrac{1}{2} y) \leq \dfrac{1}{2} f((x+y)/2)+\dfrac{1}{2} f(y) \leq \dfrac{1}{4} f(x)+\dfrac{3}{4} f(y)$

OShine · June 2021

J'ai regardé la preuve de mon livre je l'ai comprise.

La densité de A permet de s'assure que pour tout lambda dans [0,1] il existe une suite d'éléments de A qui converge vers lambda.

Mais comment trouver cette suite ? Par tâtonnements ?

lourrran · June 2021

Tu as lu la preuve dans ton livre... démarche passive. Donc dans 2 semaines , tu auras oublié.
Si tu avais trouvé la preuve par toi même, démarche active, ta mémoire archiverait la solution, et tu t'en souviendrais à vie.

CHERCHER, ça ne va pas dire chercher sur Google, ou chercher dans un livre. Ca veut dire faire marcher son cerveau. Ca veut dire REFLECHIR.

Riemann_lapins_cretins · June 2021

Mais fais un dessin ! Le procédé pour approximer par un dyadique t'a déjà été montré dans pas mal de preuves de sup.

OShine · June 2021

Lourran possible mais cet exercice sans questions intermédiaire reste difficile à mon niveau. Il demande beaucoup de prises d'initiatives.

Avec 2 questions intermédiaires il aurait été faisable pour moi du genre : montrer $H_n$ puis montrer que la suite $(\lambda_n)$ convient.

La preuve du livre est d'une limpidité ::o 123698

OShine · June 2021

Riemann j'aimerais bien savoir de quel dessin tu parles :-S

Alexique · June 2021

Tu as montré qu'entre deux réels de $[0,1]$, tu pouvais caser un nombre dyadique. Ca doit te permettre de montrer facilement que tout réel de $[0,1]$ est limite d'une suite de dyadiques (un dessin peut aider). Par ailleurs, tout ça, c'est du cours sur la notion de densité. Ton livre est plus direct je trouve sur ce point (et plus efficace) avec la suite $\lambda_n$.

OShine · June 2021

Oui en fait l'idée est dans le cours de sup. Je viens de le relire et il donne :

Etant donné $x \in \R$ et $n \in \N$, le nombre décimal $r_n= \dfrac{ E(10^n x)}{10^n}$ vérifie : $r_n \leq x <r_n + \dfrac{1}{10^n}$

On adapte ici en prenant à la place de $10^n$ $2^n$.

Il n'est pas précisé que la suite $(r_n)$ converge vers $x$ mais ça se voit directement.

Riemann_lapins_cretins · June 2021

Le dessin est simple. Tu dessines le segment [0,1], tu prends un t au hasard dedans, et seulement géométriquement, sans aucun calcul, tu dessines une suite de dyadiques qui converge vers t.
Ça montrera à la fois que tu as compris ce qu'étaient concrètement les dyadiques et que tu maîtrises une technique fondamentale de construction en analyse que tu as déjà vue plusieurs fois, et de plus, ça devrait normalement éclairer le pourquoi de la preuve du livre.

bd2017 · June 2021

Bonjour
@Os, il serait bien que tu fasses l'exercice sans utiliser l'hypothèse de continuité. On suppose que f est localement bornée comme suggéré par @Calli. Te contenter de faire la démo avec $\lambda=1/2$ serait déjà bien.

Là on peut espérer que tu n'utilises pas de corrigé et que tu fasses preuve d'initiative pour une fois.

OShine · June 2021

BD2017 déjà je ne sais pas répondre à tout exercice plus haut.
Puis en voyant le localement borné ça m'a l'air d'être un truc dur.
Riemann
Je sais faire le dessin que en calculant les premiers termes de la suite donnée par le corrigé.

Amathoué · June 2021

Calli a bien précisé que ce n’était pas pour OShine, et heureusement. Ce qui serait bien, c’est qu’il sache faire les cas « classiques ».

Riemann_lapins_cretins · June 2021

Si tu ne sais pas dessiner une suite de dyadiques approchant un réel à la main sans avoir de formule barbare c'est qu'au bout d'un an tu ne comprends toujours pas ce que sont les dyadiques, et que tu ne comprends la preuve du livre que dans la mesure où tu sais valider ou non les enchaînements d'inégalités...
Sans appui géométrique la preuve n'a strictement aucun sens.

OShine · June 2021

Les exercices de Calli sont infaisables. Je ne comprends même pas les énoncés. C'est pour les gens qui ont le niveau ENS.

Riemann je ne sais pas construire une suite de dyadique qui converge vers $\lambda$ sans aucun calcul.

J'ai besoin de calculer les termes de la suite définie par $\lambda_n=E(2^n \lambda) / 2^n$

Poirot · June 2021

OShine, saurais-tu nous représenter les ensembles $E_n = \{\frac{k}{2^n} \mid 0 \leq k < 2^n\}$, pour $n=1, 2, 3, 4$ ? Est-ce que si je te donne un élément de $[0, 1]$ (par exemple $1/3$), tu pourrais me donner l'élément de $E_n$ le plus proche de ce réel ? Est-ce que tu ne peux pas deviner comment en déduire facilement la densité de l'ensemble des nombres dyadiques dans $[0, 1]$ ?

OShine · June 2021

Voici les dessins.

Je n'ai pas déjà démontré la densité des dyadiques en introduisant l'ensemble $A$ plus haut ? Je ne comprends pas trop ce qui est attendu de plus. 123722

Riemann_lapins_cretins · June 2021

Bon, c'est pas mal. C'est normalement bien plus parlant que la suite des chiffres du développement dyadique (j'espère que tu as bien compris que la suite de ton corrigé est simplement celle-ci).

Le mot magique que j'attendais était "dichotomie" mais je pense que tu as compris le dessin.

A partir de là, tu sais comment construire les dyadiques : on prend les milieux à chaque étape.
Par conséquent l'inégalité de convexité pour les dyadiques a un lien évident avec la propriété de ton énoncé sur les milieux.
Il me semble que sans comprendre ça le corrigé est du chinois, mais que si on le comprend il ne sert à rien. Ce n'est pas un exercice d'initiative, je le maintiens, il est faisable seul avec pour unique difficulté la formalisation rigoureuse de la récurrence. Tu dois absolument le comprendre.

OShine · June 2021

Riemann dans le corrigé il n'y a rien de compliqué, c'est juste des calculs et une petite récurrence.

Par contre l'idée de poser la suite de terme général $\lambda_n=E(2^n \lambda) / 2^n$ est le point crucial. On sait qu'il existe une suite de dyadiques qui converge vers $\lambda$ mais il faut choisir le bon $p$ dans le dyadique $p / 2^n$ pour que ça converge bien vers $\lambda$.

Oui j'ai souvent croisé la dichotomie notamment dans la démonstration du théorème des valeurs intermédiaires.

La dichotomie permet d'avoir l'idée de partitionner l'intervalles en intervalles de longueur $1/2^n$.

D'après le cours de sup, une approximation décimale par défaut à $2^n$ près de $\lambda$ est $E(2^n \lambda) /2^n$

Riemann_lapins_cretins · June 2021

Si tu ne fais pas le dessin, tu ne comprends pas la preuve. Tu es seulement capable de valider les étapes du raisonnement, pas de la saisir jusqu'à la refaire seul dans plusieurs années (meme seulement plusieurs jours).

La suite de dyadique n'est absolument pas une idée sortie du ciel et c'est sur ça que j'essaie d'insister. Tu n'aurais pas dû lire le corrigé et faire seul cet exercice plus technique que difficile à condition de faire le dessin et de ne pas partir dans une hypothèse naïve et hâtive (comme dans ton message avec l'inégalité fausse pour 1/4 qui prouvait que tu n'avais rien essayé d'autre qu'une vague association d'idées facile et non éclairée).

Enfin bref.

OShine · June 2021

Je ne comprends pas trop ce que je dois ajouter au dessin...

On coupe l'intervalle $[0,1]$ en intervalles de longueur $1/2^n$.

Une approximation par défaut à $2^n$ près de $\lambda$ est $\lambda_n =E(2^n \lambda) / 2^n$

Donc $\lambda_n \leq \lambda < \lambda_n + 1/2^n$

D'où $|\lambda - \lambda_n| \leq 1/2^n$ et par passage à la limite on a le résultat.

Du coup à quoi sert la densité et la dichotomie ?