Série des $u_n\big(1+\frac{1}{n}\big)^n$

topopot
topopot
dans Analyse
Salut
Je bloque sur l'étude de la série $\sum\limits_{n\geqslant 1}u_n\big(1+\frac{1}{n}\big)^n$, où $\sum\limits_n u_n$ est une série numérique convergente.

J'ai essayé de la transformer afin d'appliquer le critère d'Abel.

On sait par hypothèse que $\Big(U_n:=\sum\limits_{k=0}^n u_k\Big)_{n\in\N}$ est bornée car convergente. De plus, la suite $\Big(v_n:=\big(1+\frac{1}{n}\big)^n\Big)_{n\in\N^*}$ est croissante (conséquence de l'inégalité arithmético-géométrique). Mais le souci est qu'elle converge vers $e\neq 0$.

J'ai alors pensé faire un développement asymptotique lorsque $n\to+\infty$ : $v_n=e^{1}e^{-\frac{1}{2n}+o(\frac{1}{n})}$ mais ça ne sert à rien car même si on sort le $e$, l'autre partie converge vers $1$ (normal).

Bref, je suis bloqué.

Réponses

  • Fin de partie
    Fin de partie
    Ta suite $(v_n)$ est convergente donc bornée.
  • Chaurien
    Chaurien
    Il me semble que la transformation d'Abel est une bonne idée car si tu poses $a_n:= (1+\frac{1}{n})^n$, alors la série $\Sigma (a_n-a_{n-1})$ est convergente à termes positifs et comme tu dis la suite $U_n:=\sum\limits_{k=0}^n u_k$ est bornée.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Pour $n$ suffisamment grand on a que $v_n$ est borné par des nombres strictement positifs. Cela ne permet-il pas de conclure?
  • topopot
    topopot
    @Chaurien, le problème sauf erreur c'est que pour appliquer Abel, on a besoin que ta suite $(a_n)$ converge vers $0$.

    @Fin de partie : tu restes dans l'idée du critère d'Abel ou tu penses à autre chose ? Ta méthode marcherait selon moi si l'on savait que $\sum\limits_n u_n$ converge absolument. Ou alors je passe à côté de quelque chose.
  • Chaurien
    Chaurien
    Je ne m'encombre pas la mémoire avec le critère d'Abel, j'ai utilisé la transformation d'Abel. Mais si tu veux quelqu'un de limite nulle, soustrais à ta série la série (convergente) de terme général $eu_n$.
  • topopot
    topopot
    En fait il fallait juste que je refasse un autre développement asymptotique pour obtenir sauf erreur une somme de deux termes généraux de séries convergentes, la première par le critère d'Abel usuel.

    Merci à vous.
  • Chaurien
    Chaurien
    Ceci dit, tu as tout à fait raison de mémoriser le fait que la suite $a_n= (1+\frac{1}{n})^n$ est croissante. Ça se démontre par l’étude de la fonction $x\mapsto x \ln(1+ \frac1x)$, ou bien en notant que l'inégalité $a_n>a_{n-1}$ équivaut à : $(1- \frac 1{n^2})^n >1- \frac 1n $, et c'est la brave petite inégalité de Bernoulli. Mais je ne vois pas comment ça découle de l'inégalité arithmético-géométrique.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • topopot
    topopot
    Soient $n\in\N^*,x_1:=1$ et $x_2=\dots=x_n=x_{n+1}:=1+\frac{1}{n}$.
    Si on note $\mu$ et $\lambda$ les moyennes arithmétique et géométrique de ces réels, on a $\lambda=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\frac{n}{n+1}}\leqslant\mu=1+\frac{1}{n+1}$ donc $\lambda^{n+1}\leqslant\mu^{n+1}$ i.e. $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\leqslant \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}$.

    C'est assez astucieux mais ça m'avait marqué à l'époque où je l'avais vu donc c'est la méthode qui me vient immédiatement si on m'en demande une preuve.
  • Chaurien
    Chaurien
    Je répète qu'à mon avis, plutôt que de mémoriser le critère d'Abel, mieux vaut retenir la transformation d'Abel (ou sommation par parties).
    Dans le cas présent, soit $a_n= (1+\frac{1}{n})^n$ et $U_n:=\sum\limits_{k=0}^n u_k$. Alors $a_n u_n=a_n(U_n-U_{n-1})$, et : $\sum\limits_{k=2}^n a_k(U_k-U_{k-1})+ \sum\limits_{k=2}^n (a_k-a_{k-1})U_{k-1}=a_nU_n-a_1U_1$.
    Et la série de terme général $(a_n-a_{n-1})U_{n-1}$ est absolument convergente, sans développement asymptotique.
    Soit $|\sum\limits_{k=0}^{n}u_k | \le M$, alors : $\sum\limits_{k=2}^n |(a_k-a_{k-1})U_{k-1}| \le (e-a_1)M$.
    Ce qui fait tout marcher c'est, comme tu l'as bien vu, la monotonie de la suite $a_n$.
    Mais enfin, chacun fait c'qui lui plaît.
    Bonne continuation.
    Fr. Ch.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Topotot: oui, tu as raison, après réflexion ce à quoi je pensais ne marche que si la série des $u_n$ est absolument convergente (si les $u_n$ ont un signe constant à partir d'un certain rang) Pour les séries semi-convergentes je ne sais rien d'autre que ce tout le monde dit ici: transformation d'Abel puisque on n'a pas d'expression de $u_n$.
  • gilles benson
    gilles benson
    bonjour, une réponse simple s'obtenait en considérant $v_n = u_n\left(1 + 1/n\right)^n - eu_n = u_n\times d_n$ avec $d_n = \left(1 + 1/n\right)^n - e$ qui est semble-t-il une suite monotone de limite nulle.
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