Algèbre du disque

schelde
schelde
dans Analyse
Bonjour,

Soit $\mathbb{D} = DF(0,1)$ le disque unité fermé, $D=D(0,1)$ le disque unité ouvert, $\mathcal{A}(\mathbb{D}) = \{ \: f \in \mathcal{C}(\mathbb{D}, \mathbb{C}) \mid f \: \text{holomorphe sur} \: D \: \}$ l'algèbre du disque unité, et soit $\mathbb{C}[\mathbb{D}]$ l'ensemble des fonctions polynomiales définies sur $\mathbb{D}$.

J'aimerais montrer que $\mathbb{C}[\mathbb{D}]$ est dense dans $\mathcal{A}(\mathbb{D})$.

Pour cela, je pensais utiliser le théorème de Stone-Weierstrass, pour montrer que $\mathbb{C}[\mathbb{D}]$ est dense dans $\mathcal{C}(\mathbb{D}, \mathbb{C})$, et donc a fortiori dans $\mathcal{A}(\mathbb{D})$.

Cependant, je ne parviens pas à monter que $\mathbb{C}[\mathbb{D}]$ est stable par conjugaison. Y a-t-il moyen de montrer cela, ou suis-je en train de faire fausse route en voulant montrer un résultat trop fort (à savoir que $\mathbb{C}[\mathbb{D}]$ est dense dans $\mathcal{C}(\mathbb{D}, \mathbb{C})$...) ?

Merci d'avance pour vos réponses :)

Réponses

  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    Oui, tu cherches à montrer trop fort. La fonction continue $z\mapsto\bar z$ n'est pas approchable par des polynômes.
    Utilise plutôt le fait que les fonctions de ${\cal A}(\Bbb D)$ sont développables en séries entières basées en 0 et de rayon de convergence 1.

    Edit : La réponse de Guego est meilleure.
  • Guego
    Guego
    C'est assez classique. Soit $\varepsilon>0$ et soit $f$ holomorphe sur $\mathbb{D}$. Si $r<1$ est assez proche de $1$, alors $f_r:z\mapsto f(rz)$ est uniformément proche à moins de $\varepsilon$ de $f$ sur $\mathbb{D}$. De plus, $f_r$ est développable en série en entière de rayon de convergence $>1$. Donc son développement en série entière converge uniformément vers $f_r$ sur $\mathbb{D}$. Donc $f_r$ peut être approchée uniformément à moins de $\varepsilon$ sur $\mathbb{D}$ par un polynôme. D'où finalement, $f$ peut être approchée uniformément à moins de $2\varepsilon$ sur $\mathbb{D}$ par un polynôme.
  • P.
    P.
    Je suis un peu perdu. Pourquoi, étant donné $\epsilon>0,$ existe-t-il un $r$ tel que pour tout $|z|<1$ on ait
    $$\left|\frac{1}{1-z}-\frac{1}{1-rz}\right|<\epsilon\quad ?$$
  • Guego
    Guego
    $z\mapsto \dfrac{1}{1-z}$ n'est pas holomorphe sur le disque unité fermé.
  • P.
    P.
    Merci Guego. Lu trop vite et confondu $\mathbb{D}$ et $D.$ On peut ne pas aimer l'expression 'holomorphe sur le disque ferme' tout de meme.
  • Mauricio
    Mauricio
    @Guego: autant que je comprenne schelde n'a pas supposé l'holomorphie dans $D$ fermé mais seulement dans l'intérieur de $D$ et la continuité sur l'adhérence. En particulier ta fonction $f_r$ n'a aucune raison d'être définie.
  • Guego
    Guego
    Oui, effectivement, c'est holomorphe sur le disque ouvert et continue sur le disque fermé. Par contre, je ne vois pas pourquoi $f_r$ ne serait pas définie. Où est le problème ?
  • Mauricio
    Mauricio
    Qu'est-ce que tu prends comme ensemble de départ pour $f_r$? pour ensemble d'arrivée? (règle: ne jamais écrire une fonction sans indiquer son ensemble de départ et d'arrivée)
  • Guego
    Guego
    Départ : disque ouvert de rayon $\dfrac{1}{r}$, et arrivée dans $\C$.
  • schelde
    schelde
    Ok, merci beaucoup !
  • gilles benson
    gilles benson
    Bonsoir, une référence pour ce sujet: Banach Spaces of Analytic Functions par K. Hoffman (chez Dover); dans le chapitre 4, pages 42, 43, on trouve: chaque fonction $f \in A$ est l'intégrale de Poisson de ses valeurs sur le cercle unité, soit $f(re^{i\theta}) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(e^{it})P_r(\theta-t) \mathrm dt $ avec $P_r$ le noyau de Poisson.
    Il en déduit que $A$ s'identifie avec l'algèbre des fonctions continues sur le cercle qui vérifient: Edit: si $n\in \mathbb{N}^*$:
    $$ \int_{-\pi}^{\pi} f(\theta) e^{in\theta} \mathrm d\theta = 0$$

    Cette algèbre contient les polynômes trigonométriques $P(\theta) = \sum_{k=0}^{n} a_k e^{in\theta}$ qui sont denses dans $A$. Il justifie ceci en disant que $f$ étant continue sur le cercle, les moyennes de Cesaro de $f$ convergent uniformément.
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • Mauricio
    Mauricio
    @ Gilles: bon argument, l'essentiel est donc le théorème de Féjer, ce qui qui montre au passage que l'argument donné par Guego ne peut pas marcher dans cet espace, et que la séries de Taylor ne converge pas uniformément en général. On doit aussi pouvoir se ramener à Stone-Weierstrass assez facilement les polynômes $P(z,\bar z)$ qui ne dépendent pas de $\bar z$ forment un sous-espace fermé...
    M.
  • Guego
    Guego
    ce qui qui montre au passage que l'argument donné par Guego ne peut pas marcher dans cet espace,

    Pourquoi ?
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