Algèbre du disque
Bonjour,
Soit $\mathbb{D} = DF(0,1)$ le disque unité fermé, $D=D(0,1)$ le disque unité ouvert, $\mathcal{A}(\mathbb{D}) = \{ \: f \in \mathcal{C}(\mathbb{D}, \mathbb{C}) \mid f \: \text{holomorphe sur} \: D \: \}$ l'algèbre du disque unité, et soit $\mathbb{C}[\mathbb{D}]$ l'ensemble des fonctions polynomiales définies sur $\mathbb{D}$.
J'aimerais montrer que $\mathbb{C}[\mathbb{D}]$ est dense dans $\mathcal{A}(\mathbb{D})$.
Pour cela, je pensais utiliser le théorème de Stone-Weierstrass, pour montrer que $\mathbb{C}[\mathbb{D}]$ est dense dans $\mathcal{C}(\mathbb{D}, \mathbb{C})$, et donc a fortiori dans $\mathcal{A}(\mathbb{D})$.
Cependant, je ne parviens pas à monter que $\mathbb{C}[\mathbb{D}]$ est stable par conjugaison. Y a-t-il moyen de montrer cela, ou suis-je en train de faire fausse route en voulant montrer un résultat trop fort (à savoir que $\mathbb{C}[\mathbb{D}]$ est dense dans $\mathcal{C}(\mathbb{D}, \mathbb{C})$...) ?
Merci d'avance pour vos réponses
Soit $\mathbb{D} = DF(0,1)$ le disque unité fermé, $D=D(0,1)$ le disque unité ouvert, $\mathcal{A}(\mathbb{D}) = \{ \: f \in \mathcal{C}(\mathbb{D}, \mathbb{C}) \mid f \: \text{holomorphe sur} \: D \: \}$ l'algèbre du disque unité, et soit $\mathbb{C}[\mathbb{D}]$ l'ensemble des fonctions polynomiales définies sur $\mathbb{D}$.
J'aimerais montrer que $\mathbb{C}[\mathbb{D}]$ est dense dans $\mathcal{A}(\mathbb{D})$.
Pour cela, je pensais utiliser le théorème de Stone-Weierstrass, pour montrer que $\mathbb{C}[\mathbb{D}]$ est dense dans $\mathcal{C}(\mathbb{D}, \mathbb{C})$, et donc a fortiori dans $\mathcal{A}(\mathbb{D})$.
Cependant, je ne parviens pas à monter que $\mathbb{C}[\mathbb{D}]$ est stable par conjugaison. Y a-t-il moyen de montrer cela, ou suis-je en train de faire fausse route en voulant montrer un résultat trop fort (à savoir que $\mathbb{C}[\mathbb{D}]$ est dense dans $\mathcal{C}(\mathbb{D}, \mathbb{C})$...) ?
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Réponses
Oui, tu cherches à montrer trop fort. La fonction continue $z\mapsto\bar z$ n'est pas approchable par des polynômes.
Utilise plutôt le fait que les fonctions de ${\cal A}(\Bbb D)$ sont développables en séries entières basées en 0 et de rayon de convergence 1.
Edit : La réponse de Guego est meilleure.
$$\left|\frac{1}{1-z}-\frac{1}{1-rz}\right|<\epsilon\quad ?$$
Il en déduit que $A$ s'identifie avec l'algèbre des fonctions continues sur le cercle qui vérifient: Edit: si $n\in \mathbb{N}^*$:
$$ \int_{-\pi}^{\pi} f(\theta) e^{in\theta} \mathrm d\theta = 0$$
Cette algèbre contient les polynômes trigonométriques $P(\theta) = \sum_{k=0}^{n} a_k e^{in\theta}$ qui sont denses dans $A$. Il justifie ceci en disant que $f$ étant continue sur le cercle, les moyennes de Cesaro de $f$ convergent uniformément.
M.
Pourquoi ?