C'est encore de la grosse ignorance de lycée tout ça.
Exo : donner tous les cas de figure pour lesquels $a^b$ est bien définie (sans oublier les cas "conventionnels") selon que $a$ et $b$ sont dans $\N, \Z, \Q, \R, \C$.
Tu pourrais te demander en particulier ce que vaut $0^a$ et $0^0$ et pourquoi, mais je pense qu'on a déjà eu ces conversations.
@Alexique c'est dans mon livre de MPSI la réponse avec l'étude des fonctions puissances.
Pour la question $1$, je ne suis pas sûr d'avoir compris à quoi ça sert de faire 2 cas : les $b_i >0$ et le cas où il existe des $b_i$ nuls.
L'inégalité de convexité donnée au début avec les $x_i$ est valable pour n'importes quels $x_i$ positifs non ? Pourquoi les prendre forcément strictement positifs ?
@Amédé
J'intègre tout en un MP/MP* Claude Deschamps François Moulin
Nan mais tu ne peux pas balancer "la racine p-ième d'un nombre est bien définie" quand tu es prof en collège comme toi.
C'est quoi la racine 2ème de -1 par exemple ? Sérieux, arrête de faire le robot, de recopier des passages de bouquin sans rien comprendre.
Les $x_i$ demandent de pouvoir inverse les $b_i$ pour être bien défini. Je pense vraiment que tu devrais faire cet exo de quand est-ce que $a^b$ est bien définis en traitant TOUS les cas. Je suis sûr que tu en zapperais les 3/4.
@Alexique: On ne voit plus guère que les racines carrés des nombres réels positifs au collège.
@Oshine: L’inégalité du 1 a un nom et il est dommage qu’ils ne le donnent pas dans la correction. Si tu trouves tu comprends pourquoi les $\lambda$ sont strictement positifs.
Si $n$ est pair alors la racine n-ième est définie sur $\R^{+}$ et si $n$ est impair elle est définie sur $\R$. On peut prendre comme exemple les applications $x \mapsto \sqrt{x}$ et $x \mapsto ^3\sqrt{x}$
Amédé généralisation Cauchy-Schwarz ? Je ne vois toujours pas à quoi sert le cas des $b_i >0$. Dans le cours j'ai :
Si $f$ est une fonction convexe sur $I$ et si les $\lambda_1, \cdots, \lambda_p$ sont des réels positifs non tous nuls alors :
Donc à la lumière de ton rappel, quand est ce que les $x_i$ sont bien définis ? Parce que j’ai l’impression que tu zappes complètement mes interventions ?
Ok, donc tu vois pourquoi il faut distinguer le cas $b_i>0$ du cas $b_i=0$. Il fallait surtout voir qu'il fallait inverser les $b_i$ donc les supposer non nuls.
A noter que $a^b$ peut-être bien défini sans $\ln$, peut-être négatif, peut être complexe, etc... C'est juste une notation qui en fait se prolonge à chaque fois que l'on découvre un nouvel ensemble de nombres dans la scolarité... mais qui ne se prolonge pas n'importe comment !
Le barycentre de la famille de points pondérés $(x_i , \lambda_i)_{1 \leq i \leq n}$ avec $\displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_i \ne 0$ est $\dfrac{1}{\sum_{i=1}^n \lambda_i} \displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i$
Donc si tu veux normaliser tu pondères par quoi? Tu as ta famille $(\lambda_{i})_{1\leq i\leq n}$ et tu cherches des $\mu_{i}$ dépendants des $\lambda_{i}$ tels que $\sum\limits_{k=1}^{n}{\mu_{k}}=1$
On t’a donné un mot clé: normaliser.
Comment tu normalises un vecteur $x$ dans un espace vectoriel normé dont la norme est $N$?
Le cas particulier que je t’ai donné, c’est bien « la norme à la puissance $p$ (et $q$) vaut $1$ »....
Pourquoi tu as mis k et l (drôle de choix de lettres au passage) à la puissance 1/p et 1/q au début ?
En corrigeant ça c'est tout cuit. Cette méthode pour Hölder me paraît plus simple et permet surtout de connaître une inégalité nouvelle qui se retient bien.
Un exercice que j'aimais beaucoup donner à propos des fonctions exponentielles :
Donner 3 triplets d'ensembles $(A,B,C)$ pris parmi $\N,\Z,\R_+^*,\R^*,\R,\C^*,\C$ tels que \[\forall a\in A,\ \forall b\in B,\ \forall c\in C,\quad (a^b)^c=a^{bc}\] Si possible, on fera en sorte que les 3 ensembles $A\times B \times C$ n'aient aucune relation d'inclusion les uns dans les autres.
Donner un triplet $a,b,c$ tel que les nombres $a^b,\ (a^b)^c$ et $\ a^{bc}$ soient définis mais que $\ (a^b)^c\neq a^{bc}$.
Réponses
Deuxième encadré : Tu multiplies par $S^{-\frac{p-1}{p}}$ des deux côtés, où $S$ est la somme qui est strictement positive.
"Sinon l'inégalité est évidente car les réels sont positifs"
J'ai un doute si la somme est nulle à cause des puissances en $1/p$. On aura du $0^{1/p}= 1/p \ln (0)$ ce n'est pas défini :-S
Aussi qui dit que la partie de droite sera positive à cause des $1/p$ et $1/q$ ? Le log étant négatif sur $]0,1]$ ?
Exo : donner tous les cas de figure pour lesquels $a^b$ est bien définie (sans oublier les cas "conventionnels") selon que $a$ et $b$ sont dans $\N, \Z, \Q, \R, \C$.
Tu pourrais te demander en particulier ce que vaut $0^a$ et $0^0$ et pourquoi, mais je pense qu'on a déjà eu ces conversations.
Ça va partir en vrille...:-D
Si $S=0$ alors comme $S$ est une somme de termes positifs on a $a_i = b_i=0$ pour tout $i$.
Ensuite on utilise le fait que la racine p-ième d'un nombre est bien définie et nulle en $0$.
On a $p>1$ alors $0^p=0$ puis $0^{1/p}=0$
Cela donne $0 \leq 0+0$ ce qui est vrai.
Bien évidemment $0^0=1$ mais ici je m'en sers pas.
Ca n'enlève rien à l'intérêt de mon petit exo sur la bonne définition de $a^b$ mais bon... bof...
c'est quoi le livre utilisé?
Pour la question $1$, je ne suis pas sûr d'avoir compris à quoi ça sert de faire 2 cas : les $b_i >0$ et le cas où il existe des $b_i$ nuls.
L'inégalité de convexité donnée au début avec les $x_i$ est valable pour n'importes quels $x_i$ positifs non ? Pourquoi les prendre forcément strictement positifs ?
@Amédé
J'intègre tout en un MP/MP* Claude Deschamps François Moulin
C'est quoi la racine 2ème de -1 par exemple ? Sérieux, arrête de faire le robot, de recopier des passages de bouquin sans rien comprendre.
Les $x_i$ demandent de pouvoir inverse les $b_i$ pour être bien défini. Je pense vraiment que tu devrais faire cet exo de quand est-ce que $a^b$ est bien définis en traitant TOUS les cas. Je suis sûr que tu en zapperais les 3/4.
@Oshine: L’inégalité du 1 a un nom et il est dommage qu’ils ne le donnent pas dans la correction. Si tu trouves tu comprends pourquoi les $\lambda$ sont strictement positifs.
Si $n$ est pair alors la racine n-ième est définie sur $\R^{+}$ et si $n$ est impair elle est définie sur $\R$. On peut prendre comme exemple les applications $x \mapsto \sqrt{x}$ et $x \mapsto ^3\sqrt{x}$
Amédé généralisation Cauchy-Schwarz ? Je ne vois toujours pas à quoi sert le cas des $b_i >0$. Dans le cours j'ai :
Si $f$ est une fonction convexe sur $I$ et si les $\lambda_1, \cdots, \lambda_p$ sont des réels positifs non tous nuls alors :
$\forall (x_1,x_2, \cdots, x_p) \in I^p$ $f(\dfrac{\lambda_1x_1 + \cdots + \lambda_p x_p}{\lambda_1+ \cdots + \lambda_p}) \leq \dfrac{\lambda_1 f(x_1) + \cdots + \lambda_p f(x_p)}{\lambda_1+ \cdots + \lambda_p}$
Je te relance sur $a^b$.
Donc $x_i = a_i \times (- \dfrac{q}{p} \ln (b_i) )$
$x_i$ est défini pour $b_i >0$.
A noter que $a^b$ peut-être bien défini sans $\ln$, peut-être négatif, peut être complexe, etc... C'est juste une notation qui en fait se prolonge à chaque fois que l'on découvre un nouvel ensemble de nombres dans la scolarité... mais qui ne se prolonge pas n'importe comment !
Montrer que pour $u$ et $v$ strictement positifs on a :
$$ uv \leq \frac{u^{p}}{p} + \frac{v^{q}}{q} $$
$\ln(\dfrac{u^p}{p}+ \dfrac{v^q}{q}) \geq \dfrac{1}{p} \ln u^p + \dfrac{1}{q} \ln v^q \geq \ln(uv)$
La fonction exponentielle étant croissante, cela entraîne l'inégalité demandée.
Donc $\forall i \in [|1,n|] $ on a $a_i b_i \leq \dfrac{a_i ^p}{p}+\dfrac{b_i ^q}{q}$
Donc $\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{a_i ^p}{p}+ \displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{b_i ^q}{q}$
Après je ne vois pas :-S
Ensuite prend $(a_i)’$ et $(b_i)’$ positifs quelconques et essaie de te ramener à ce cas.
Pour le cas quelconque je n'ai pas trouvé.
Le barycentre de la famille de points pondérés $(x_i , \lambda_i)_{1 \leq i \leq n}$ avec $\displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_i \ne 0$ est $\dfrac{1}{\sum_{i=1}^n \lambda_i} \displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i$
Comment tu normalises un vecteur $x$ dans un espace vectoriel normé dont la norme est $N$?
Le cas particulier que je t’ai donné, c’est bien « la norme à la puissance $p$ (et $q$) vaut $1$ »....
Amédé
Je prends $\mu_i=\dfrac{\lambda_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_i}$
Mais je ne vois pas quoi faire à partir de :
$a_i b_i \leq \dfrac{a_i ^p}{p}+ \dfrac{a_i ^q}{q}$ donc $\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{a_i ^p}{p}+ \dfrac{a_i ^q}{q}$
Si $\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i ^p= k$ et $\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i ^q=l$.
Posons $a_i '=\dfrac{a_i}{ k^{1/p}}$ et $b_i '=\dfrac{b_i}{ l^{1/q}}$ de sorte que $\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i ' ^p=\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i ' ^q=1$
Ainsi, $\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i ' b_i ' \leq (\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i ' ^p)^{1/p} (\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i ' ^p)^{1/q}$
Or $\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i ' ^p=\displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{a_i ^p}{k}$ et $\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i ' ^q=\displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{b_i ^q}{l}$
Ainsi, $\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i ' b_i ' \leq (1/k)^{1/p} (1/l)^{1/q} (\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i ^p)^{1/p} (\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i ^p)^{1/q} $
C'est une usine à gaz, je ne vois pas d'issue.
En corrigeant ça c'est tout cuit. Cette méthode pour Hölder me paraît plus simple et permet surtout de connaître une inégalité nouvelle qui se retient bien.
Je ne vois pas d'autres possibilité.
Riemann a du confondre car ma dernière inégalité permet de conclure.
On a $\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i ' b_i ' \leq (1/k)^{1/p} (1/l)^{1/q} (\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i ^p)^{1/p} (\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i ^p)^{1/q} $
Or $a_i ' b_i '=\dfrac{a_i b_i}{ k^{1/p} l^{1/q}}$ donc $\displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{a_i b_i}{ k^{1/p} l^{1/q}} \leq (1/k)^{1/p} (1/l)^{1/q} (\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i ^p)^{1/p} (\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i ^p)^{1/q} $
En multipliant par le terme positif $k^{1/p} l^{1/q}$ cela se simplifie et on a enfin :
$\boxed{\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq (\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i ^p)^{1/p} (\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i ^p)^{1/q}}$