Inégalités de Hölder et Minkowski

@Alexique c'est dans mon livre de MPSI la réponse avec l'étude des fonctions puissances.

Pour la question $1$, je ne suis pas sûr d'avoir compris à quoi ça sert de faire 2 cas : les $b_i >0$ et le cas où il existe des $b_i$ nuls.

L'inégalité de convexité donnée au début avec les $x_i$ est valable pour n'importes quels $x_i$ positifs non ? Pourquoi les prendre forcément strictement positifs ?

@Amédé
J'intègre tout en un MP/MP* Claude Deschamps François Moulin

Alexique

Si $n$ est pair alors la racine n-ième est définie sur $\R^{+}$ et si $n$ est impair elle est définie sur $\R$. On peut prendre comme exemple les applications $x \mapsto \sqrt{x}$ et $x \mapsto ^3\sqrt{x}$

Amédé généralisation Cauchy-Schwarz ? Je ne vois toujours pas à quoi sert le cas des $b_i >0$. Dans le cours j'ai :

Si $f$ est une fonction convexe sur $I$ et si les $\lambda_1, \cdots, \lambda_p$ sont des réels positifs non tous nuls alors :

$\forall (x_1,x_2, \cdots, x_p) \in I^p$ $f(\dfrac{\lambda_1x_1 + \cdots + \lambda_p x_p}{\lambda_1+ \cdots + \lambda_p}) \leq \dfrac{\lambda_1 f(x_1) + \cdots + \lambda_p f(x_p)}{\lambda_1+ \cdots + \lambda_p}$

Ibni on prend $\dfrac{x}{||x||}$

Amédé

Je prends $\mu_i=\dfrac{\lambda_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_i}$

Mais je ne vois pas quoi faire à partir de :

$a_i b_i \leq \dfrac{a_i ^p}{p}+ \dfrac{a_i ^q}{q}$ donc $\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{a_i ^p}{p}+ \dfrac{a_i ^q}{q}$

Ibni il n'y a pas d'espace vectoriel normé défini ici. En plus, je n'ai pas encore étudié ce chapitre.

Si $\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i ^p= k$ et $\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i ^q=l$.

Posons $a_i '=\dfrac{a_i}{ k^{1/p}}$ et $b_i '=\dfrac{b_i}{ l^{1/q}}$ de sorte que $\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i ' ^p=\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i ' ^q=1$

Ainsi, $\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i ' b_i ' \leq (\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i ' ^p)^{1/p} (\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i ' ^p)^{1/q}$

Or $\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i ' ^p=\displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{a_i ^p}{k}$ et $\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i ' ^q=\displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{b_i ^q}{l}$

Ainsi, $\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i ' b_i ' \leq (1/k)^{1/p} (1/l)^{1/q} (\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i ^p)^{1/p} (\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i ^p)^{1/q} $

C'est une usine à gaz, je ne vois pas d'issue.

Pour avoir une somme qui vaut 1.

Je ne vois pas d'autres possibilité.