Fonction convexe majorée

OShine · June 2021

Bonjour,

Je ne comprends pas la correction de la question $2$. Il me semble qu'on utilise une contraposée, mais je ne comprends pas pourquoi $f$ serait majorée ni pourquoi on peut changer $f$ en $-f$. 123566

noobey · June 2021

Pour ta première question, c'est écrit dans l'énoncé.

OShine · June 2021

Le raisonnement est par contrapose donc je ne vois pas pourquoi f serait majorée.

On veut démontrer que f est majorée et convexe pour utiliser la question 1.

Et aussi si on prend l'opposé de f la dérivée seconde sera négative et la fonction ne sera plus convexe.

Audeo · June 2021

Si $f''\geqslant 0$, alors $f$ est convexe et majorée (car bornée), donc constante, et sinon, $(-f)''\geqslant 0$, $-f$ est convexe et majorée (car $f$ est bornée) donc constante, d'où $f$ constante.

OShine · June 2021

Ah d'accord merci j'avais mal compris.

C'est un raisonnement par l'absurde en fait.

Alexique · June 2021

Tu fais quelle différence entre un raisonnement par l’absurde et un raisonnement par contraposée ?

Alexique · June 2021

Soit ABC un triangle avec $AB=1, BC=2$ et $AC=3$.
Contraposée : $AC^2=9 \neq AB^2+BC^2=5$ donc le triangle n'est pas rectangle. J'ai montré $non Q \implies non P$.
Absurde : Supposons qu'il soit rectangle. Alors par Pythagore, $AC^2=9= AB^2+BC^2=5$, absurde. Donc il n'est pas rectangle. Sachant $P \implies Q$ vrai, supposant j'ai mis en défaut $P vrai$ car je constate que $Q$ est faux.

Bref, finalement, j'utilise soit le membre de gauche soit celui de droite de l'équivalence $(P \implies Q) \iff (non Q \implies non P)$. Pour moi, en terme de logique, c'est pareil. Ce n'est pas un raisonnement différent comme on pourrait le dire d'un raisonnement par récurrence par exemple.

Si tu as un exemple d'exo faisable uniquement par absurde ou uniquement par contraposée, je serais curieux. Pour moi, c'est pareil. Mais je vais peut-être me faire taper sur les doigts par les logiciens qui passeraient par là.

OShine · June 2021

Par l'absurde quand on veut montrer $P \implies Q$ on part de $P \ \text{ET} \ NON (Q)$

Par contraposée, on part de $NON(Q)$ et on veut montrer $NON(P)$.

Alexique · June 2021

Mais donc dans les deux cas du part de NON(Q), on est d'accord ? Pour après soit dire "P est faux", soit pour dire "zut, P est faux, je pensais qu'il était juste", tu trouves vraiment que c'est différent ?? Dans les deux cas, tu en déduis "P faux". Dans ta correction en tout cas, je ne vois pas de moment où l'auteur dit "zut, patatras, ce que je croyais est faux", donc ça me semble plus être une contraposée mais bon... Globalement, pas de différence...

Je vois sur wiki que l'irrationnalité de $\sqrt{2}$ n'est pas un raisonnement par l'absurde par exemple. cf

Dom · June 2021

Utiliser un Raisonnement Par l’Absurde (RPA) c’est utiliser à un moment donné « j’ai non(non(Truc)) donc j’ai Truc ».

Pour $\sqrt{2}$ les rédactions usuelles n’utilisent pas (en tout cas n’écrivent pas explicitement) cela.
Et on est en droit de dire que ces démonstrations ne font pas appel au RPA (on parle de « l’axiome du RPA »).

Un élément que j’ai compris grâce au temps (vraiment beaucoup de temps) c’est :
Prouver la négation de $Bidule$ est par définition prouver que « $non(Bidule)$ entraine n’importe quoi ».
Ainsi obtenir « n’importe quoi » après un raisonnement ne signifie pas avoir utilisé un RPA.

C’est cela qui crée la confusion : obtenir « donc 0=7 » n’est pas systématiquement proposer un RPA.

OShine · June 2021

Considérons l'implication $P \implies Q$.

Absurde : $NON (P \implies Q)=NON ( NON(P) \ OU \ Q)= \boxed{P \ ET \ NON(Q)}$

Contraposée $NON(Q) \implies NON(P)$ soit $NON (NON (Q)) \ OU \ NON(P)= \boxed{Q \ OU \ NON(P)}$

Ce n'est pas la même chose.

Poirot · June 2021

Ce que tu appelles "absurde" dans ton dernier message n'est pas un raisonnement par l'absurde, tu as juste écrit la négation de ton implication.

OShine · June 2021

Poirot je suppose que l'implication est fausse alors que je veux montrer qu'elle est vraie.

Ce n'est pas un raisonnement par l'absurde ?

Je croise très souvent ce type de raisonnement dans les exercices.

Dom · June 2021

Petit exemple :
Soit $x$, un réel tel que $3x+2=5$.

Je m’intéresse à : P : $x=10$.
Je cherche à savoir si l’on a P.
Si P, alors $32=5$.
Je n’ai pas utilisé un raisonnement par l’absurde.
J’ai juste démontré « non P ».
Autrement dit que $x$ n’est pas égal à $10$.

Poirot · June 2021

OShine a écrit:

Poirot je suppose que l'implication est fausse alors que je veux montrer qu'elle est vraie.

Ce n'est pas un raisonnement par l'absurde ?

Si, ce serait un raisonnement par l'absurde. Mais je suis obligé de t'arrêter quand tu dis qu'écrire $\mathrm{non}(P \Rightarrow Q)$ est un raisonnement par l'absurde. Il faut que tu fasses l'effort intellectuel d'être précis sur l'emploi des mots dans un raisonnement logique. Sinon tu vas encore passer dix ans à rester coincé pour des broutilles logiques que l'on apprend une bonne fois pour toutes au début de ses études.

OShine · June 2021

@Dom
Pour moi c'est un raisonnement par l'absurde ce que tu écris.

@Poirot
Oui $NON(P \implies Q)$ est la négation de $P \implies Q$.
Un raisonnement par l'absurde serait de supposer la proposition $P \implies Q$ fausse et trouver une contradiction.
On aura alors montré que $P \implies Q$ est une proposition vraie.

Dom · June 2021

La confusion est de dire « puisque j’obtiens quelque chose d’absurde, cela signifie que c’est un raisonnement par l’absurde ».
C’est ça l’erreur.

Cependant dans des discussions sur le sujet certaines sources parlaient de « réduction à l’absurde », de « détour par l’absurde ».
Il y a aussi « démonstration par l’absurde ».

L’appellation « raisonnement par l’absurde », elle, est la moins ambiguë.

Édit:
Pour montrer P=>Q.
On suppose : non(P=>Q) et on arrive à une contradiction.
C’est exactement avoir prouvé : non(non(P=>Q)).
Et là on dit « donc (P=>Q) ».
C’est ce passage en bleu qui contient le RPA.

Par contre quand tu dis « supposer P=>Q fausse » ça me dérange un peu sans savoir exactement pourquoi.