Soit la fonction $f$ définie sur $[0,1]$ par $f(x)
= \begin{cases}
n & x=1/n \\
0 & \text{ sinon} \\
\end{cases}$
$f$ est-elle intégrable au sens de R ? au sens de L ? au sens de HS KH ?
Une dédicace pour ev.
Une fonction Riemann intégrable est bornée, donc non. La fonction est presque partout nulle, donc elle est intégrale au sens de Lebesgue. Je ne sais pas ce que c’est HS.
$f$ est KH-intégrable pour deux raisons, la première plus élémentaire que la seconde :
1/ elle est nulle sauf sur un ensemble dénombrable.
2/ elle est intégrable au sens de Lebesgue.
Réponses
HS : Hors Service, déféctueux
KH : Kurzweil-Henstock.
Cordialement.
NB : Gebrane, pense à rajouter le "si" dans la définition de $f$.
$f$ est KH-intégrable pour deux raisons, la première plus élémentaire que la seconde :
1/ elle est nulle sauf sur un ensemble dénombrable.
2/ elle est intégrable au sens de Lebesgue.
Amicalement,
e.v.
C’est un entier fixe au départ ?
Si c’est le cas, c’est une fonction en escalier. Quel est le problème ?
Édit : je comprends que ce n’est pas le cas.
Dis-moi, mon cher gebrane, tu nous as habitué à des énoncés plus propres, non ?
Dom f (1/3)=3, f (2/3)=0, f ($\sqrt 2$ /2)=0 .....
@AD et Gebrane.
Avec moi le titre aurait été :
"Riemann, Lebesgue and Sometimes Kurzweil-Henstock"
Amicalement,
e.v.
C'était quand même quantifié n'importe comment, enfin... non quantifié...
Dans ce cas elle n'est pas intégrable au sens de Riemann, en effet.
C'est bien quantifié si on comprend le même français :
f définie sur [0,1] par f(x) = blabla
signifie pour le commun des mortels
$\forall x\in $ [0,1] , f(x)= blabla
Cordialement.
1) Soit n, on pose f(x) = ...
2) la fonction que tu as dans la tête.
J'ai bien compris pour le $x$.
Reconnais-le que c'est mal dit (sans problème de langue d'ailleurs) ;-)