Une série

Bonjour
Sans pb on suppose que L=1.

Ensuite tu développes en série $\cot(\pi x)$ grâce à Mittag-Leffler et puis tu dérives.

Ou bien les résidus : le pôle $s=-x/L$ étant double, on a
$$\sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{1}{(x+nL)^2} = - \underset{s=-x/L}{\textrm{Res}} \left( \frac{\pi \cot \pi s}{(x+sL)^2} \right) = - \frac{1}{L^2} \left[ \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}s} \left(\pi \cot \pi s \right) \right]_{} = \frac{\pi^2}{L^2 \sin (\pi x/L)^2}.$$

Bonjour

tu pars du produit infini eulérien :

$\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}= (1 - x^2)(1 - \frac{x^2}{2^2})\cdots(1 - \frac{x^2}{n^2})\ldots$

tu passes aux logarithmes népériens et tu dérives terme à terme, tu trouves la série rationnelle :

$\frac{\pi}{\tan(\pi x)} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x + 2} + \ldots$
que tu dérives par rapport à $x$, il vient :
$\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi x)} = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{(x - 1)^2} + \frac{1}{(x + 1)^2} + \frac{1}{(x - 2)^2} + \frac{1}{(x + 2)^2} +\ldots $ soit :
$\sum_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{(x + n)^2} = \frac{\pi^2}{\sin^2(\pi x)}$
Ta série peut s'écrire : $$\frac{1}{L^2}\sum_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{(\frac{x}{L} + n)^2} = \frac{\pi^2}{L^2}\times\frac{1}{\sin^2\frac{\pi x}{L}}.

$$ Cordialement.