Déformation de la boule unité

Salut tout le monde,
ça fait quelque jour que je réfléchis sur une question de la géométrie différentielle.

Existe-t-il un $C^{\infty}$-difféomorphe entre un $\mathbb{R}$-espace vectoriel normé et sa boule unité (ouverte).

En dimension finie (travaillons sur $\mathbb{R}^n$) on peut le construire de plusieurs façons.
Il suffit de prendre une fonction $f \: C^{\infty}$-difféomorphe entre $]-1,1[$ et $\mathbb{R}$ puis la "normalisé" pour se retrouver dans la boule unité.
Alors la fonction $h(x):= f(\lVert x \rVert)x$ remplit les conditions.
(par exemple la fonction $\tanh$).
Ou d'une façon un peu intuitive la fonction $f$ définie par $f(x):=\dfrac {x} {\sqrt{1+\lVert x \rVert_2 ^2 }}$.

Mais en dimension infinie je me bloque, j'ai essayé de construire un exemple mais en vain.
(en effet la non existence d'homéomorphisme implique directement la non existence de $ C^{\infty}$-difféomorphisme, mais un homéomorphe existe )

Je serais reconnaissant si quelqu'un pouvait nous me débloquer.