Inégalité sans doute facile

jp nl
jp nl
dans Analyse
Bonsoir
Je me demande si, pour des réels :
$$\sum_{k=1}^n x_k^2 \geq \sum_{1\leq i<j\leq n} x_ix_j.

$$ Ça ressemble au développement du carré $(\sum_k x_k)^2$, mais des signes moins me bloquent.
Désolé, ça doit être évident !

Réponses

  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    Que se passe-t-il si les $x_i$ valent tous 1 ?
  • SylvainK
    SylvainK
    $x_i \times x_j \leq (x_i+x_j)^2/2$, facile à prouver. Tu dois pouvoir généraliser à partir de là.
  • jp nl
    jp nl
    Merci à tous les deux !

    @Calli :

    Ok, je vous demande de montrer qu'éventuellement, $n \geq n(n-1)/2$... ça cloche effectivement !

    @SylvainK :

    Je ne suis pas sûr d'avoir compris où tu veux m'emmener...
  • gebrane
    gebrane
    Ton inégalité est fausse, peut être tu veux démontrer que $\displaystyle 2\sum_{1\leq i<j\leq n}x_ix_j\leq(n-1)\sum_{i=1}^nx_i^2$

    Tu pars du fait que $\sum_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)^2\geq0$ et tu développes
    Le 😄 Farceur


  • jp nl
    jp nl
    Merci gebrane.

    J''étais sur un exercice (qui est faux aussi donc),
    et je cherchais justement un coefficient à coller devant la somme des carrés pour que ça marche...

    Je regarde ce que tu proposes !
  • Calli
    Calli
    L'inégalité de gebrane peut aussi se montrer grâce à l'inégalité de Sylvain.
  • jp nl
    jp nl
    Ok !

    Je me suis cassé les dents sur le développement de la somme triangulaire,
    mais c'est la moitié de $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n (x_i-x_j)^2$,
    et en développant le tout et en faisant attention, j'ai obtenu l'inégalité.

    Pour info, l'exo que je faisais :

    $A$ est une matrice tridiagonale avec
    - des $a$ (un réel) sur la diagonale,
    - des 1 sur la sur-diagonale et la sous-diagonale,
    (et donc des 0 ailleurs).
    Montrer que la plus grande valeur propre est inférieure ou égale à $a+2$.

    Je l'ai pris en essayant de montrer que $X^T.A.X\leq (a+2)X^T.X$...
    et pour aboutir (mais je m'y suis peut-être mal pris), j'avais besoin (?) de l'inégalité ci-dessus...

    En conclusion, là, j'ai une majoration de la plus grande valeur propre par $a+n-2$ où $n$ est la taille de la matrice...

    Ben ça alors !
    Je m'y suis mal pris ? Ou bien l'énoncé est effectivement faux ?
  • P.
    P.
    Si $a=2\cos \theta $ tu peux calculer le determinant de $A$ par recurrence et en deduire ses valeurs propres.
  • gebrane
    gebrane
    jp nl , c'est difficile de trouver le polynôme caractéristique et les valeurs propres de ta matrice ?
    Le 😄 Farceur


  • jp nl
    jp nl
    Bonne question gebrane. J'irai voir !
    Mais ça court-circuite les questions de mon exercice. Ce qui n'est pas très grave en soi !
  • gebrane
    gebrane
    Bon, je te laisse le sale boulot, démontre que les valeurs propres de ta matrice sont les
    $$\lambda_k=a+2\cos \Big({\frac {k\pi}{n+1}\Big),\quad k=1,2,\ldots, n}$$

    Sale boulot signifie : il faut salir ces mains en faisant les calculs par soi même.
    Le 😄 Farceur


  • Tonm
    Tonm
    Bonjour, la question est donc simple, tu cherches à majorer les valeurs propres de ta matrice $A=[a_{i,j}]$ (tridiagonale symétrique) avec $a=0$. Une majoration (cercle Gersghorin) connue est le $\max_i \sum_j|a_{i,j}|=2$.
    $A+aI$ a les valeurs propres $\lambda(A)+a$.
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