Entre analyse et géométrie

Bonjour,

Indications :
- Trouver le nombre de triangles équilatéraux inscrits dans un n-cube c'est trouver le nombre de triplets (formés de sommets du cube) équidistants entre-eux.
- Par symétrie, si $N$ est le nombre de ces triangles dont un sommet est à l'origine, le nombre total de triangles convenables est $\displaystyle {2^n N \over 3}.$
- Quelle est la distance entre deux points ? Montrer que les points $A$ et $B$ ont le même nombre de $1$ dans leurs coordonnées. Puis transformer la coordonnées $\displaystyle A=(1,1,1,1,0,0)$ en $\displaystyle A'=\{1,2,3,4\}$ càd les positions des $1$ ou encore $\displaystyle B=(1,1,0,0,1,1$ en $\displaystyle B'=\{1,2,5,6\}.$
Pour $\displaystyle card(A') = card(B') =m$ montrer que $\displaystyle card(A' \cap B') = m/2$ : $m$ est donc pair. Montrer que $\displaystyle m=2 k$ avec $\displaystyle k \leq n/3.$
-A partir de $A'$ et $B'$, sommer sur $k$ toutes les combinaisons : $\displaystyle N = \sum_{k=1}^{E(n/3)} C_n^k {C_{n-k}^k C_{n-2k}^k\over 2}.$
-Conclure.

Bonjour

Soit $u(n)$ le nombre de triangles équilatéraux dont les sommets sont pris parmi les sommets d’un cube en dimension n.
Trouver une relation de récurrence sur $u(n)$.
Calculer $ \lim \dfrac{nu(n)}{8^n}.$
Merci.

En partant du principe que non, j'ai fait un petit programme pour calculer les premiers termes. On tombe alors sur https://oeis.org/A344854

Bonjour,
Fil doublon : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2255924.

Le problème sur le nombre de triangles équilatéraux de sommets dans le n-cube a été posté sur un autre forum en Décembre 2005

Voir ici