Zéta(z) n'appartient pas à R-
Bonjour,
Dans le cadre de mes études, je dois étudier la fonction zéta.
J'ai besoin d'utiliser log(zeta), avec log la détermination principale du logarithme.
Pour cela, je dois montrer que zeta(z) n'appartient pas à R- si Re(z)>1.
Je bloque sur ce problème. J'ai essayé d'utiliser la formule du produit eulérien, mais rien ne marche...
Merci d'avance pour votre aide.
Cordialement,
Pierre.
Dans le cadre de mes études, je dois étudier la fonction zéta.
J'ai besoin d'utiliser log(zeta), avec log la détermination principale du logarithme.
Pour cela, je dois montrer que zeta(z) n'appartient pas à R- si Re(z)>1.
Je bloque sur ce problème. J'ai essayé d'utiliser la formule du produit eulérien, mais rien ne marche...
Merci d'avance pour votre aide.
Cordialement,
Pierre.
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Réponses
$$\log \zeta(z) = - \sum_p \log \left( 1 - \frac{1}{p^z} \right).$$
La relation voulue s'ensuit alors par prolongement analytique.
PS:
Je m'imagine qu'il y aurait tout un segment sur lequel $\zeta$ serait réelle et passerait d'une valeur négative à une valeur positive.