Analyse fonctionnelle
dans Analyse
J'étudie l'analyse fonctionnelle et je suis tombé sur une proposition qui m'a fait réfléchir.
Soient $X$ et $Y$ des espaces normés et soient $S,T\in \mathcal{L}(X,Y)$. Si
i) $||Sx||\leqslant k||Tx||$ pour tout $x\in X$, pour centains $k>0$.
ii) $S$ a une image fermée avec $N(T)=N(S)$, alors $T$ a une image fermée.
Comment pourrais-je le prouver ?
L'un des espaces ne devrait-il pas être au moins un espace de Hilbert ?
Merci.
Notation:
Désolé, je n'ai pas pris la peine de clarifier la notation.
Soient $X$ et $Y$ des espaces normés et soient $S,T\in \mathcal{L}(X,Y)$. Si
i) $||Sx||\leqslant k||Tx||$ pour tout $x\in X$, pour centains $k>0$.
ii) $S$ a une image fermée avec $N(T)=N(S)$, alors $T$ a une image fermée.
Comment pourrais-je le prouver ?
L'un des espaces ne devrait-il pas être au moins un espace de Hilbert ?
Merci.
Notation:
- $X$ et $Y$ espaces normés
- $\mathcal{L}(X,Y)$espace normalisé de tous les opérateurs linéaires continues de $X$ à $Y$.
- $N(T)$ espaces nuls d'un opérateur linéaire $T$.
Désolé, je n'ai pas pris la peine de clarifier la notation.
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Réponses
La proposition n'était pas en français:«$S$ is closed range».
Sinon que veut dire N ? La norme d'opérateur ?
L(X,Y) désigne l'ensemble des applications linéaires de X dans Y
${\cal L}(X,Y)$ désigne l'ensemble des applications linéaires continues de X dans Y
Il s'agit de montrer une forme du théorème de factorisation (algébrique) mais dans sa variante topologique (avec la notion de supplémentaire topologique).
Merci aussi BobbyJoe.