Un petit sujet de Polytechnique

bisam
bisam
dans Analyse
Hier, je me suis rendu compte que j'avais fait une erreur dans le corrigé d'un exo d'oral que j'ai donné à mes élèves.

Voici le sujet :
Polytechnique a écrit:
  1. Montrer que pour tout réel positif $x$ et tout entier strictement positif $n$, $(1+\frac{x}{n})^n\leq e^x$.
  2. Soit $\alpha\in\R$. Étudier la limite de la suite $(x_n)_{n\in\N^*}$ définie par : \[x_n=\int_0^n\left(1+\frac{x}{n}\right)^ne^{-\alpha x}dx\].

La première question est triviale et permet de se débarrasser sans difficulté du cas $\alpha>1$.
En revanche, je ne vois pas comment traiter le cas $\alpha\leq 1$ sans faire plein de sous cas.

Plus précisément, j'ai trouvé un moyen simple de traiter le cas $\alpha\leq \ln(2)$, mais je ne sais pas comment en découdre avec $\ln(2)< \alpha\leq 1$.

Vous avez une idée ?

Réponses

  • Siméon
    Siméon
    En comparant le cas $\alpha \leq 1$ avec le cas $1+\epsilon$, on obtient par monotonie :
    \[
    \forall \epsilon > 0,\quad \liminf_{n \geq 1} x_n \geq \frac1{\epsilon}.
    \]
  • Thibaut
    Thibaut
    Bonjour,

    J'ai fait des gribouillages pour mes calculs sur papier.
    Et effectivement, je trouve le même problème que le tien, à savoir faire une disjonction de cas pour les valeurs prises par <alpha>.

    Je trouve les expressions suivantes de la limite de (x_n):

    (i) pour <alpha> = 0. Cas trivial: lim(x_n) = e^n - 1.

    (ii) pour <alpha> = 1. Cas trivial: impossible. [1/(1-alpha)] = 1/0 !!!

    (iii) pour <alpha> = -1. Cas trivial: lim(x_n) = +inf

    (iv) pour <alpha> > 1 (sur ]1;+inf[, lim(x_n) = +inf.

    (v) pour <alpha> sur ]-inf ; 0[ U ]0;1[, lim(x_n) = +inf.

    Pour (iii), (iv), (v), je ne suis pas sûr du tout car j'ai pas vérifié la convergence pour les valeurs de <alpha>.
  • incognito
    incognito
    Soit $f_n(x)=\chi_{[0;n]}(x)e^{-\alpha x}(1+\frac xn)^n$, pour $x$ positif.
    $(f_n)$ est une suite croissante de fonctions positives, donc la limite des intégrales sur $]0;+\infty[$ est l'intégrale de la limite.
  • bisam
    bisam
    Malheureusement, incognito, le théorème de convergence monotone ne fait pas partie de l'attirail de l'élève de prépa, et même si on se rapproche d'un cours où les intégrales prenant une valeur infinie seront chose courante, ce n'est pas encore le cas.
    Cependant, je retiens l'idée de la monotonie dans un coin de ma tête.
  • gebrane
    gebrane
    .
    Le 😄 Farceur


  • MrJ
    MrJ
    Peut-être que l'on peut s'en sortir en utilisant que
    \[\forall u \in[0,1],\quad u - \dfrac{u^2}{2} \leq \ln(1+u) \leq u.\]
    Si je n'ai pas fait une erreur (je l'ai fait rapidement), il me semble que l'on en déduit que
    \[x_n \geq \textrm{e}^{-1/2} \int_0^{\sqrt{n}} \textrm{e}^{(1-\alpha)x}\textrm{d}x.\]
  • marco
    marco
    Soit $A>0$, pour $n>A$, $x_n\geq \int_0^A (1+x/n)^ne^{-\alpha x}dx$.
    Soit $\epsilon >0$, pour $x \in [0,A]$, et pour $n$ suffisamment grand, $(1- \epsilon)(x/n)\leq \log(1+x/n) \leq x/n$.
    Donc $e^{(1- \epsilon)x} \leq(1+x/n)^n \leq e^x$.
    Donc $x_n \geq\int_0^A e^{(1-\epsilon-\alpha)x}dx$.
    Donc, pour $\alpha \leq 1$, $\lim \inf x_n \geq A$ (quelque soit $A>0$).
  • P.
    P.
    Comme le dit MrJ $\log (1+u)-u+\frac{u^2}{2}\geq 0$ si $0<u<1$ par étude de fonction. En faisant $u=x/n$ on arrive à

    $$x_n=\int_0^n\left(1+\frac{x}{n}\right)^ne^{-x}dx\geq \int_0^ne^{-x^2/2n}dx=\sqrt{n}\int_0^{\sqrt{n}}e^{-y^2/2}dy\ \underset{n\to\infty }{\sim}\ \sqrt{\pi n/2}.
    $$ Le cas $\alpha<1$ est trivial car $e^{-x}<e^{-\alpha x}.$
  • bisam
    bisam
    MrJ et P. : Nickel, ça me convient très bien.
    Merci tout le monde.
  • gebrane
    gebrane
    Bonjour bisam, peux-tu donner un résumé sans démonstrations suivant les cas pour tes lecteurs. Merci
    Le 😄 Farceur


  • marsup
    marsup
    Bonjour Gebrane,

    Comme dit incognito http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2254356,2254392#msg-2254392 le théorème de convergence monotone donne facilement la réponse :

    La limite est $\int_{0}^{+\infty} e^{(1-\alpha) x} dx = \frac{1}{\alpha-1}$ si $\alpha>1$, et $+\infty$ si $\alpha \le 1$.
  • gebrane
    gebrane
    marsup je ne le demandais pas à moi, car j'ai connu cette question; elle est traitée aussi sur MSE https://math.stackexchange.com/questions/2774313/study-of-the-sequence-int-0n-left1-fracxn-rightn-e-alpha-x-mathr?noredirect=1 par la même méthode de incognito convergence monotone. Je voulais juste soulager les visiteurs qui s’intéressent
    Le 😄 Farceur


Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 22

AzothLirone93Matricule_63Médiat_Suprèmebiguine_equationmanu +16 Invités