Unicité pour une équation différentielle

Bonjour
J'essaie de montrer l'unicité de la différentielle en un point en utilisant la norme $\displaystyle{N(f) = \underset{||x|| \ne 0}{\text{sup}} \frac{||f(x)||}{||x||}}$ habituelle sur l'espace des applications linéaires $L(E,F)$ ($E$ et $F$ de dimension finie).
Mais je coince sur un résultat intermédiaire qui est peut-être faux d'ailleurs.

Pour les notations : $E$ et $F$ 2 e.v.n de dim. finie $U$ ouvert de $E$.
$f$ une fonction différentiable sur $U$. Soit $a \in U$ et $V$ un voisinage de $0_{E}$.
$df_{a} \in L(E,F)$ t.q. : $\forall h \in V,\ ||f(a+h)|| = f(a) + df_{a}(h) + o(||h||)$
$dg_{a} \in L(E,F)$ t.q. : $\forall h \in V,\ ||f(a+h)|| = f(a) + dg_{a}(h) + o(||h||)$

On a donc $\forall h \in V,\ df_{a}(h) - dg_{a}(h) = o(||h||)$, ce qui peut se traduire, en utilisant la définition d'une limite par
$\forall \epsilon > 0,\ \exists \alpha > 0\, \forall h \in V,\ ||h|| < \alpha \rightarrow ||df_{a}(h) - dg_{a}(h)|| < \epsilon ||h||$.

À partir de là, j'aimerais pouvoir montrer que si $f$ est une application linéaire de $E$ dans $F$ (de dim. finie) qui vérifie la relation (1) suivante :
$\forall \epsilon > 0,\ \exists \alpha > 0,\ \forall h \in E,\ ||h|| < \alpha \rightarrow ||f(h)|| < \epsilon ||h||$. Alors on a :
$\forall \epsilon > 0,\ \forall h \in E,\ ||f(h)|| < \epsilon ||h||$.

C'est le résultat intermédiaire que je mentionnais plus haut. Est-il vrai ?
Pour cela, on se donne $(e_{i})_{i \in [1-N]}$ une base de $E$ (dim. $N$).
À $\epsilon > 0$ fixé, et pour $\alpha > 0$ qui valide (1), en prenant $\displaystyle{e'_{i} = \beta \frac{e_{i}}{||e_{i}||}}$ avec $0 < \beta < \alpha$,
on a une nouvelle base $(e'_{i})$ tq $\forall i \in [1-N],\ ||e'_{i}|| < \alpha$ et on a donc $ ||f(e'_{i})|| < \epsilon ||e'_{i}||$.

Soit $h \in E,\ h = \sum_{i} h_{i} e'_{i}$. On a $||f(h)|| \leq \sum |h_{i}| ||f(e'_{i}|| \leq \epsilon \alpha \sum |h_{i} \leq \epsilon \alpha ||h||$.
$\alpha$ dépendant du $\epsilon$, je patauge et doute de la véracité de ce que je veux montrer...

Pour revenir à l'unicité, j'aurais aimé utiliser ce résultat pour finir :
$\forall \epsilon > 0,\ \forall h \in E,\ ||(df_{a}- dg_{a})(h)|| < \epsilon ||h||$ et donc que $N(df_{a}- dg_{a}) = 0,\ df_{a}- dg_{a} = 0$ et $df_{a} = dg_{a}$.

Merci à ceux qui prendront le temps de m'éclairer, je n'ai pas fait de maths depuis très longtemps.