Séries de fonctions non dérivable en 0

oui, posons $\displaystyle \phi(x)= \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\sin(k^{2}x)}{k^{2}}$

on à donc $\displaystyle \phi'(x)= \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{k^{2} \cos(k^{2}x)}{k^{2}}=\sum_{k=1}^{+\infty} \cos(k^{2}x)$.

(on peut voir que ça converge pour énormément de valeurs

on à donc \displaystyle \phi(0)=\sum_{k=1}^{+\infty 1} $\displaystyle \phi'(0)=\sum_{k=1}^{+\infty} 1$ . qui diverge


PS: je n'aimerais pas tomber sur $\displaystyle \phi(x)$ car ça doit piquer...

en passant par une limite, je suppose
(Pour démontrer que la dérivé de la série est égale à la série de la dérivé)


Sinon la dérivé ne m'a pas l'air continu par morceau (c'est pour ça que j'ai dit que ça devait piquer si on tombait sur $\displaystyle \phi(x)$)

je propose de modéliser la fonction pour mieux voir si elle est si chaotique que ça. D'après géogébra, voici la tète de $\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^{20} \frac{\sin(x k^{2})}{k^{2}}$, très proche de la fonction $\phi(x)$

Résultat: La fonction me semble chaotique et pas lisse du tout

PS: j'ai essayer $\displaystyle \sum_{k=1}^{1000} \frac{\sin(x k^{2})}{k^{2}}$ mais ça à... RIP d'où le truc en haut

Bonsoir, je crois qu'on peut faire plus simple.
En effet je pose que $f(x)=\sum_{k=1}^{+\infty} {\frac{\sin(k^2.x)}{k^2}}$, on a $f(0)=0$
On considère la fonction $g$ définie par $g(x)=\frac{f(x)-f(0)}{x}=\sum_{k=1}^{+\infty} {\frac{\sin(k^2.x)}{k^2.x}}$ pour $x>0$.
On a $-\sum_{k=1}^{+\infty} { \frac{1}{k^2.x} } \leq g(x)$ or $-\sum_{k=1}^{+\infty} { \frac{1}{k^2.x} }=-\frac{\pi^2}{6x}$, d'où $-\frac{\pi^2}{6x} \leq g(x)$ et la quantité de gauche tend vers l'infini ainsi $g$ n'admet pas de limite en $0$ donc $f$ n'est pas dérivable en $0$

Bonjour
@Gon ta démonstration n'est pas correcte. En effet pour $x>0$ mais petit $f(x)>0$ et donc $g(x)>0$ alors ta minoration par un négatif est triviale et ne démontre rien du tout.

En fait démontrer que $f$ n'est pas dérivable en $0$, il suffit de démontrer que $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$ n'a pas de limite quand $x$ tend vers $0^+$.
Or $g(x)=\sum_{k=1}^n \dfrac{\sin(k^2x)}{k^2 x}+\sum_{k=n+1}^\infty \dfrac{\sin(k^2x)}{k^2 x}=v_n(x)+w_n(x).$
Mais $|w_n(x)|\leq \sum_{k=n+1}^\infty \dfrac{1}{k^2 x}=\dfrac{1}{x} \sum_{k=n+1}^\infty \dfrac{1}{k^2 }\leq c\dfrac{1}{nx} $ (où $c>1$)
et si $n^2x \geq\dfrac{\pi}{2}$ on a $$

v_n(x)\geq \dfrac{\pi}{2} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^4 x^2}
$$ (car sur $[0,\pi/2],\ \sin(x)\geq \dfrac{\pi}{2x}).$
Ainsi il existe $n_0 $ et $c_1>0$ t.q pour tout $n\geq n_0,\ v_n(x)\geq \dfrac{c_1}{x^2}.$
Avec la majoration de $|w_n(x)| $ ci-dessus il n'est pas difficile de voir qu'en choisissant $n$ assez que $\dfrac{f(x)}{x}$ est aussi grand en choisissant $x$ assez petit.

oui c'était bien $\phi'(x)=0$ merci Gon

Bonsoir
bd2017, on pouvait utiliser directement le résultat sur la minoration du $\sin$ sur $[0,\frac{\pi}{2}]$ pour conclure qu'on n'avait pas de limite n'est-ce pas qu'on trouve une minoration qui nous permet de montrer ce qu'on veut.

Bonsoir, la fonction $\displaystyle R(x) = \sum_{n\geq 1} \dfrac{\sin (n^2\pi x)}{n^2}$ est appelée fonction de Riemann et son cas est traité dans l'ouvrage de Queffelec et Choimet: Grands Théorèmes du 20-ième Siècle Chez Calvage et Mounet.

Comme je l’ai dit plus haut @etanche, c’est aussi traité dans un sujet de concours.

bonsoir, disons qu'il y a quelques articles dessus sur Jstor et que mon scanner ne donnera pas de bonnes images de ce bouquin un peu trop gros; désolé...

Nom clé: gerver

Selon la référence de Gilles.