Fonction complexe bornée
Bonjour, il y a un point d'une preuve de mon cours que je ne comprends pas.
Soit $R(z)$ une fonction rationnelle en $z\in \mathbb C$ qui vérifie
Voici la preuve de mon cours.Avec $D_R:= \{z\in \mathbb C_-: |z|<R\}$ on a que $R(z)$ est analytique sur $D_R$ car pas de pôle dans $\mathbb C_-$ donc on peut appliquer le principe du maximum: $\max_{z\in \bar{D_R}}|R(z)|=\max_{z\in \partial D_R}|R(z)|\qquad (1)$.
Aussi par (i) et que $R(z)$ est rationnelle on a que $\lim_{|z|\to +\infty}|R(z)|\in [0,1]$. Ainsi, $\sup_{|z|\geq R}|R(z)|\leq 1+\varepsilon$ pour $\varepsilon>0$ fixé et tout $R$ supposé assez grand.
En utilisant $(1)$ on obtient que $\sup_{|z|\in \mathbb C_-}|R(z)|\leq 1+\varepsilon$, et on déduit le résultat en faisant $\varepsilon\to 0$.
Je ne comprends juste pas comment on utilise le point $(1)$ à la fin ou pourquoi avant on a que $\lim_{|z|\to +\infty}|R(z)|\in [0,1]$, merci.
Soit $R(z)$ une fonction rationnelle en $z\in \mathbb C$ qui vérifie
- $|R(iy)|\leq 1\quad \forall y\in \mathbb R$
- $R(z)$ n'admet pas de pôle dans $\mathbb C_-:=\{z\in \mathbb C: \Re(z)\leq 0\}$
Voici la preuve de mon cours.Avec $D_R:= \{z\in \mathbb C_-: |z|<R\}$ on a que $R(z)$ est analytique sur $D_R$ car pas de pôle dans $\mathbb C_-$ donc on peut appliquer le principe du maximum: $\max_{z\in \bar{D_R}}|R(z)|=\max_{z\in \partial D_R}|R(z)|\qquad (1)$.
Aussi par (i) et que $R(z)$ est rationnelle on a que $\lim_{|z|\to +\infty}|R(z)|\in [0,1]$. Ainsi, $\sup_{|z|\geq R}|R(z)|\leq 1+\varepsilon$ pour $\varepsilon>0$ fixé et tout $R$ supposé assez grand.
En utilisant $(1)$ on obtient que $\sup_{|z|\in \mathbb C_-}|R(z)|\leq 1+\varepsilon$, et on déduit le résultat en faisant $\varepsilon\to 0$.
Je ne comprends juste pas comment on utilise le point $(1)$ à la fin ou pourquoi avant on a que $\lim_{|z|\to +\infty}|R(z)|\in [0,1]$, merci.
Réponses
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Bonsoir si $R$ est rationnelle, elle est de la forme $R(z) = P(z)/Q(z)$ avec $P(z) = a_0z^n +...$ et $Q(z) = b_0z^p + ...$ et tu peux dans $|R(z)|$ mettre les termes de plus haut degré en facteur; $R(iy)$ est encore une fonction rationnelle en $y$, de sorte que sa limite quand $|iy| = |y|$ tend vers l'infini est la même que celle de $|R(z)|$ soit l'infini ou bien une valeur finie. Ta première condition indique que tu es dans le second cas.A demon wind propelled me east of the sun
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gilles benson a écrit:$R(iy)$ est encore une fonction rationnelle en $y$, de sorte que sa limite quand $|iy| = |y|$ tend vers l'infini est la même que celle de $|R(z)|$ soit l'infini ou bien une valeur finie.
Je ne vois pas pourquoi ce serait le cas (l'égalité des limites), j'ai l'impression qu'il y a une propriété utilisée un peu comme le principe du maximum d'avant mais je ne le discerne pas. -
On utilise (1) pour dire que le sup de ta fonction sur $\C_-$ est égal à son sup sur l'ensemble $\{|z|\geq R\}$ pour $R$ suffisamment grand.
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La limite de $\ \left|\dfrac{a_n z^n + \dots + a_0}{b_m z^m + \dots + b_0}\right|\ $ quand $|z| \to +\infty$ est facile à établir avec la méthode usuelle de lycée. La condition $i)$ nous dit que $n=m$ et cette limite vaut en particulier $\ \dfrac{|a_n|}{|b_m|} \leq 1$.
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Poirot tu m’étonnes en disant
La limite de .... est facile à établir avec la méthode usuelle de lycée
J'aimerais bien voir comment un lycéen peut me calculer avec rigueur $\lim_{|z|\to \infty}|f(z)| $ avec $ f(z)=z^{3}+z+1$ il y a un travail à faire !Le 😄 Farceur -
gebrane, je parlais de la méthode de factorisation par le monôme de degré le plus élevé. Ta limite est connue pour les $z$ réels par les lycéens, et n'est guère plus compliquée dans le cas général pour un post-bac.
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Ok, on est d'accord pas pour un lycéenLe 😄 Farceur
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gebrane :
Il y a un biais évident à ta question car les seuls lycéens qui peuvent comprendre la question sont ceux qui ont choisi l'option "Maths Expertes" en Terminale. Les autres ne savent même pas ce qu'est un nombre complexe.
Cependant, il est à la portée des élèves les plus forts de cette option d'écrire que \[|z^3+z+1|=|z|^3\times |1+z^{-2}+z^{-3}|\] et de conclure en utilisant le fait que si $|z|\rightarrow+\infty$ alors $z^{-1}\rightarrow 0$.
Malheureusement, il y a un tel cloisonnement du savoir désormais qu'il ne viendra même à l'idée des professeurs de placer des calculs de limites dans le chapitre sur les nombres complexes...
Et pourquoi pas de la géométrie pendant qu'on y est ? :)o -
Bonjour, désolé pour le petit retard.
Jusque là je suis d'accord pour dire que $\lim_{|z|\to +\infty}|R(z)|\in [0,1]$ et ainsi que pour $\varepsilon>0$ fixé et tout $R>0$ pour $R$ suffisamment grand, on a que $\sup_{|z|\geq R}|R(z)|\leq 1+\varepsilon$.
Donc on a que $$\max_{z\in \bar{D_R}}|R(z)|=\max_{z\in \partial D_R}|R(z)|\leq \sup_{|z|\geq R}|R(z)|\leq 1+\varepsilon$$On conclut en faisant tendre $\varepsilon$ vers $0$ ce qui implique que $R$ tende vers l'infini :-S Je trouve cette dernière étape un peu floue.
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Bonjour!
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