Inégalité sur le tore

Bonjour,
Soit $h\in H^1(\mathbb T),$ où $\mathbb T:=\R/(2\pi \Z)$, on veut montrer qu'il existe $a<1$ tel que
$$\|h\|_{L^\infty} \leq a \|\partial_x h\|_{L^2} + b\|h\|_{L^2}.

$$ Si j'étais sur $\R$, j'aurais fait comme ça
\begin{align*}
\left| h\left( \varepsilon x\right) \right| ^{2}&=\left| \dfrac{1}{2\pi }\int \widehat{h}\left( \xi \right) e^{i\varepsilon x\xi }d\xi \right| ^{2}\\
&\leq \left| \int\ \left| \widehat{h}\left( \dfrac{\xi }{\varepsilon }\right) \right| \dfrac{d\xi }{2\pi \varepsilon } \ \right| ^{2}\\
&\leq \left( \int \left( 1+\left| \xi \right| ^{2}\right) \left| \widehat{h}\left(\dfrac{\xi}{\varepsilon}\right)
\right| ^{2}\dfrac{d\xi }{2\pi \varepsilon }\right) \cdot \left( \int \dfrac{1}{1+\xi ^{2}}\dfrac{d\xi }{2\pi \varepsilon}\right)\\
&=\dfrac{1}{2\varepsilon }\int \left| \widehat{h}\left( \dfrac{\xi }{\varepsilon }\right) \right| ^{2}\dfrac{d\xi }{2\pi \varepsilon }+\dfrac{1}{2\varepsilon }\int \left| \xi \right| ^{2}\left| \widehat{h}\left( \dfrac{\xi }{\varepsilon }\right) \right| ^{2}\dfrac{d\xi }{2\pi \varepsilon }\\
&=\dfrac{1}{2\varepsilon }\left\| h\right\| _{L^{2}}^{2}+\dfrac{\varepsilon }{2}\left\| \partial_x h\right\| _{L^{2}}^{2}

\end{align*} Existe-t-il une méthode proche de celle-là pour démontrer le résultat sur le cercle au lieu de $\R$ ? Et sinon, on procède comment ?

Merci d'avance !