Inégalité sur le tore
Bonjour,
Soit $h\in H^1(\mathbb T),$ où $\mathbb T:=\R/(2\pi \Z)$, on veut montrer qu'il existe $a<1$ tel que
$$\|h\|_{L^\infty} \leq a \|\partial_x h\|_{L^2} + b\|h\|_{L^2}.
$$ Si j'étais sur $\R$, j'aurais fait comme ça
\begin{align*}
\left| h\left( \varepsilon x\right) \right| ^{2}&=\left| \dfrac{1}{2\pi }\int \widehat{h}\left( \xi \right) e^{i\varepsilon x\xi }d\xi \right| ^{2}\\
&\leq \left| \int\ \left| \widehat{h}\left( \dfrac{\xi }{\varepsilon }\right) \right| \dfrac{d\xi }{2\pi \varepsilon } \ \right| ^{2}\\
&\leq \left( \int \left( 1+\left| \xi \right| ^{2}\right) \left| \widehat{h}\left(\dfrac{\xi}{\varepsilon}\right)
\right| ^{2}\dfrac{d\xi }{2\pi \varepsilon }\right) \cdot \left( \int \dfrac{1}{1+\xi ^{2}}\dfrac{d\xi }{2\pi \varepsilon}\right)\\
&=\dfrac{1}{2\varepsilon }\int \left| \widehat{h}\left( \dfrac{\xi }{\varepsilon }\right) \right| ^{2}\dfrac{d\xi }{2\pi \varepsilon }+\dfrac{1}{2\varepsilon }\int \left| \xi \right| ^{2}\left| \widehat{h}\left( \dfrac{\xi }{\varepsilon }\right) \right| ^{2}\dfrac{d\xi }{2\pi \varepsilon }\\
&=\dfrac{1}{2\varepsilon }\left\| h\right\| _{L^{2}}^{2}+\dfrac{\varepsilon }{2}\left\| \partial_x h\right\| _{L^{2}}^{2}
\end{align*} Existe-t-il une méthode proche de celle-là pour démontrer le résultat sur le cercle au lieu de $\R$ ? Et sinon, on procède comment ?
Merci d'avance !
Soit $h\in H^1(\mathbb T),$ où $\mathbb T:=\R/(2\pi \Z)$, on veut montrer qu'il existe $a<1$ tel que
$$\|h\|_{L^\infty} \leq a \|\partial_x h\|_{L^2} + b\|h\|_{L^2}.
$$ Si j'étais sur $\R$, j'aurais fait comme ça
\begin{align*}
\left| h\left( \varepsilon x\right) \right| ^{2}&=\left| \dfrac{1}{2\pi }\int \widehat{h}\left( \xi \right) e^{i\varepsilon x\xi }d\xi \right| ^{2}\\
&\leq \left| \int\ \left| \widehat{h}\left( \dfrac{\xi }{\varepsilon }\right) \right| \dfrac{d\xi }{2\pi \varepsilon } \ \right| ^{2}\\
&\leq \left( \int \left( 1+\left| \xi \right| ^{2}\right) \left| \widehat{h}\left(\dfrac{\xi}{\varepsilon}\right)
\right| ^{2}\dfrac{d\xi }{2\pi \varepsilon }\right) \cdot \left( \int \dfrac{1}{1+\xi ^{2}}\dfrac{d\xi }{2\pi \varepsilon}\right)\\
&=\dfrac{1}{2\varepsilon }\int \left| \widehat{h}\left( \dfrac{\xi }{\varepsilon }\right) \right| ^{2}\dfrac{d\xi }{2\pi \varepsilon }+\dfrac{1}{2\varepsilon }\int \left| \xi \right| ^{2}\left| \widehat{h}\left( \dfrac{\xi }{\varepsilon }\right) \right| ^{2}\dfrac{d\xi }{2\pi \varepsilon }\\
&=\dfrac{1}{2\varepsilon }\left\| h\right\| _{L^{2}}^{2}+\dfrac{\varepsilon }{2}\left\| \partial_x h\right\| _{L^{2}}^{2}
\end{align*} Existe-t-il une méthode proche de celle-là pour démontrer le résultat sur le cercle au lieu de $\R$ ? Et sinon, on procède comment ?
Merci d'avance !
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Réponses
Dans le cas du tore je ne connais pas une référence
$\|h\|_{L^\infty} \leq \|h\|_{L^2} +\| h'\|_{L^2}$
on déduit que
$\|h\|_{L^\infty} \leq a \|h\|_{L^2} + \frac 1a \| h'\|_{L^2}$ pour tout $a>0 $?
Et d'ailleurs c'est ce que j'ai fait plus haut, c'est que j'ai en quelque sorte repris la démonstration de l'injection de Sobolev, mais en ajustant la paramétrisation...
[Sergueï Sobolev (1908-1989) prend toujours une majuscule. AD]
quand j'avais écrit que $\Vert h\Vert_{L^\infty}\leq \Vert h\Vert_{H^1}$ au lieu de $\Vert h\Vert_{L^\infty}\leq c\Vert h\Vert_{H^1}$ (c>0) , est ce que c’était une coquille de ma part ou non ?
D'ailleurs, le calcul plus haut montre qu'il y a bien une constante (si on oublie les $\varepsilon$), mais après je ne connais pas la constante optimale...
Si on traite les injections de Sobolev sur un ouvert borné, je pense que la constante peut également dépendre de la taille de l'ouvert en question.