Mais j'ai réussi les 10 premières questions d'un sujet centrale à part la question 8 mais dans le rapport du jury le jury a dit que c'était une question difficile et que peu de gens avaient réussi la question.
Pourquoi vous dites que c'est niveau 3e? Ca m'étonnerait qu'en 3e y ait des équations de droite avec $\lambda$ maintenant le niveau en 3e est très faible. J'ai jamais vu dans mon livre de telles équations de droite je pense qu'il va falloir que je change de livre il explique rien du tout c'est du chinois pour moi :-S
Ben cherche l'expression de la corde $[A_1,A_2]$ ie l'équation de la droite $(A_1A_2)$. C'est plus 2nd que 3ème je te l'accorde. D'ailleurs, depuis le temps que je pointe tes insuffisances dans le secondaire, c'est souvent à partir de la 2nd que tu es défaillant (pour ça que je te dis que toi prof en lycée, c'est ridicule).
Va falloir que tu apprennes la formule directement :
$y = a(x-x_A) + y_A$ au lieu de la retrouver à chaque fois...
Et oui en effet, tu as écrit une équation de droite en fonction de $x$ et pas en fonction de $\lambda$, donc en effet y a pas de $\lambda$ c'est logique oui
Voilà le problème, quand on refuse d'apprendre les cours de lycée depuis des années, on ne voit même pas qu'il n'est pas question d'équation cartésienne.
D'ailleurs, pour toute fonction affine, $g$, on a $g(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)=\lambda g(x_1)+(1-\lambda)g(x_2)$... Donc même pas besoin de déterminer l'expression de la fonction affine de la corde.
C’est précisément l’intérêt des fonctions affines : elle conserve les barycentres (ça doit être dans ton livre et nul part ailleurs je pense ^^)
Ce sont aussi les seules fonctions à la fois concaves et convexes (avec une hypothèse de continuité peut être…).
Je n'ai pas encore vu ce résultat sur la conservation du barycentre par les fonctions affines.
Je pense que si....
Si tu multiplies toutes les notes d’un devoir surveillé de 3ième par une constante (disons $1,15$) et que tu ajoutes à chaque note une autre constante (disons $0,5$), que devient la moyenne $m$ initialement calculée?
Ce qui est plus cohérent gebrane (au vu des récents fils) serait de l’inviter à démontrer que l’image d’un convexe par une application affine est un convexe.
@gebrane : Oshine a déjà traité cette question sur ce forum. Il l’a probablement oublié. C’est une question délicate (probablement un oral de polytechnique).
Alexique, je ne sais pas si OS a déjà traité cette question. Je suis intervenu car j'ai vu dans ton message ''avec une hypothèse de continuité peut être''
J’espère que OS fait le lien en barycentre et espérance mathématique
Je déterre ce topic pour montrer qu'encore une fois, on brasse du vent, on met des coups d'épée dans l'eau et je reste poli car c'est plus l'expression avec le violon qui me vient spontanément par agacement. Il y a un an, on a déjà eu toutes ces discussions sur les segments paramétrés, la convexité, etc... Sur des exos bien plus durs. Dans un an, c'est rebelote.
Si $f:I\mapsto \mathbb{R}$ est une fonction convexe sur $I$, alors $f$ est continue sur $I.$
Attention :
Si $I$ n’est pas ouvert, la continuité au bord n’est pas nécessairement assurée.
Contre-exemple :
Par exemple si on prend l'intervalle $I= [0,1]$ et la fonction $f$ nulle sur $]0,1]$ et qui vaut $1$ en $0$, on a bien une fonction convexe non continue en $0.$
Maintenant, à toi de jouer O Shine pour la preuve. Tu utiliseras le théorème de l'inégalité des pentes.
Bof... Arrêtez de l'assommer de questions, tout ce qu'il veut c'est avancer dans son "livre" donc vos questions, il s'en fout un peu. D'une part, parce que la réponse est dans son livre, donc il va juste recopier la preuve en faisant croire qu'elle est de lui (donc à part pour être certifié en LaTex, ça ne sert à rien). D'autre part parce que quand il bloque et qu'on lui répond par une question, il pense perdre son temps et ne voit jamais le rapport entre la question que lui pose et que nous, nous lui posons.
J'attends son prochain topic (je parie sur Jensen mais l'inégalité des pentes ou le lien entre dérivabilité/convexité sont aussi de bons candidats).
J'attends aussi le moment où il comprendra le lien entre "ensemble convexe" et "fonction convexe", c'est peut-être pas pour cette année cela dit (pourtant son premier message/scan répond à cette question).
Alexique j'avais fait un exercice sur la convexité sans avoir étudié le cours avant.
Je crois que je ne savais pas avant de faire l'exercice aussi qu'il fallait utiliser la convexité.
Je n'ai pas encore vu l'inégalité des pentes.
La fonction qui définie sur $[0,1]$ et qui vaut $1$ en $0$ et $0$ ailleurs est convexe mais pas continue.
@Ibni
Je n'ai pas compris le rapport entre ta question et la convexité
Quelle question?
Pour la conservation du barycentre, c’est Alexique qui te faisait la remarque et tu as répondu que tu ne l’avais pas encore vu. Je t’ai répondu que en principe...si.
Mais sinon, il y a évidemment un lien entre barycentre et convexité puisque une fonction est convexe si et seulement si l'image du barycentre pondéré positivement de deux points est inférieure ou égale au barycentre des images..., non?
Ou alors parles-tu de la question sur l’image d’un convexe par une application affine?
Écoute, prends du recul OShine, tu pars dans tous les sens.
Je parlais de la question suivante, je ne vois pas quelle propriété voulais-tu mettre en évidence :-S
"Si tu multiplies toutes les notes d’un devoir surveillé de 3ième par une constante (disons 1,15) et que tu ajoutes à chaque note une autre constante (disons 0,5), que devient la moyenne m initialement calculée?"
Je réponds à cette question. Soit $m$ la moyenne arithmétique et $x_i$ les notes. Soit $m'$ la nouvelle moyenne après transformation.
On a $m=\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^n x_k }{n}$
On pose $x_i '=1,15 x_i +0,5$ alors $m'=\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^n x_k ' }{n}=1,15 m +0,5$
Soit bar est une nouvelle notation pour la fonction communément appelée addition.
Soit bar représente la notion de barycentre, et tu as encore écrit n'importe quoi.
Je penche pour la 2ème version.
En fait, à chaque message, tu fais une nouvelle erreur.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Ta dernière ligne est du grand n’importe quoi OShine.
En fait $1,15$ et $0,5$ ne sont respectivement que le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de notre fonction affine.
Ta dernière relation encadrée veut plutôt dire que si $m$ est la moyenne des $(x_i)$, alors $f(m)$ est la moyenne des $f(x_i)$:
Si $m$ est le barycentre du système $\{(x_1, k_1);(x_2,k_2);...;(x_n,k_n)\}$ alors, $f(m)$ est le barycentre du système $\{(f(x_1), k_1);(f(x_2),k_2);...;(f(x_n),k_n)\}$.
Ici, tu l’as démontré avec $k_i =1$ pour $i \in \{1,...,2\}$.
[Ne pas confondre le forum et instagram, facebook ou twitter ! Merci. AD]
Quel est le souci ? Parce que j'ai déjà vu un certain nombre d'images humoristiques, parfois animées, être utilisées sur le forum, comme le smiley irlandais de Gérard qui est amusant.
PS: Je n'utilise aucun réseau social, donc cette référence ne me parle pas.
[Essayons de conserver la sobriété que le forum a su conserver jusqu'à présent.
Merci. AD]
Réponses
Pourquoi vous dites que c'est niveau 3e? Ca m'étonnerait qu'en 3e y ait des équations de droite avec $\lambda$ maintenant le niveau en 3e est très faible. J'ai jamais vu dans mon livre de telles équations de droite je pense qu'il va falloir que je change de livre il explique rien du tout c'est du chinois pour moi :-S
Est-ce que tu aurais écrit de toi même : pour tout x de $[x_1, x_2]$ c'est à dire de la forme $\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2$ avec $\lambda \in [0,1]$
Si jusque là, tout te paraît naturel, pourquoi bloques-tu sur la toute dernière ligne ????
A mon avis, ça fait déjà 3 lignes que tu lis ... sans percuter quoi que ce soit.
@Lourran
Je sais que tout élément de $[x_1,x_2]$ peut s'écrire sous la forme $\lambda x_1+(1-\lambda)x_2$ pour $\lambda \in [0,1]$.
Mais je ne comprends pas comment on fait quand on passe à l'image de $x$.
L'équation est de la forme $y=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} X + b$ avec $b \in \R$.
On a $y_M = \dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} x + b$ donc $b=y_M-\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} x$
Donc $\boxed{y=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} X +y_M-\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} x}$
Il n'y a pas de $\lambda$
$y = a(x-x_A) + y_A$ au lieu de la retrouver à chaque fois...
Et oui en effet, tu as écrit une équation de droite en fonction de $x$ et pas en fonction de $\lambda$, donc en effet y a pas de $\lambda$ c'est logique oui
Ok merci bien vu. Super rapide comme méthode ::o
Une fonction affine est linéaire.
@Noobey
Merci !
Ça donne $y(X)=(X- x_1) \dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}+f(x_1)$
On évalue en $x$ : $y(x)=(x-x_1) \dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}+f(x_1)$ où $x=\lambda x_1+(1-\lambda)x_2$
Soit $y(x)=(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2-x_1) \dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}+f(x_1)$
D’où : $y(x)=((\lambda-1) x_1+(1-\lambda)x_2) \dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}+f(x_1)$
Soit $y(x)=(1-\lambda) (f(x_2)-f(x_1))+f(x_1)$ et donc $\boxed{y(x)=(1-\lambda)f(x_2)+\lambda f(x_1) }$
[Ne pas confondre le forum et instagram, facebook ou twitter ! Merci. AD]
Mais le résultat d'Alexique fonctionne. Je l'ai démonté au brouillon.
Interdit, ça, sur le phôrüm : J'aurais pu être en train de boire...
e.v.
Ce sont aussi les seules fonctions à la fois concaves et convexes (avec une hypothèse de continuité peut être…).
Puisque Alexique a des doutes, montre nous ceci
Si tu multiplies toutes les notes d’un devoir surveillé de 3ième par une constante (disons $1,15$) et que tu ajoutes à chaque note une autre constante (disons $0,5$), que devient la moyenne $m$ initialement calculée?
J’espère que OS fait le lien en barycentre et espérance mathématique
Quand tu avais 15 ou 16 ans, tu faisais quoi ?
Tu es passé directement de CM2 en classes prépa ? Sans passer par le collège et le lycée ?
L'espérance est le barycentre des points pondérés $(x_i,p(x_i))$
@Ibni
La moyenne ne change pas (conservation du barycentre).
@Gebrane
Je préfère apprendre le cours en entier sur la convexité avant de tester les exercices.
Il se peut que je n'ai pas encore les bagages pour tout comprendre.
Un petit exo pour réfléchir (avant de voir le cours complet). Une fonction convexe sur n intervalle I est-elle continue?
On suppose que l'intervalle $I$ est ouvert.
Si $f:I\mapsto \mathbb{R}$ est une fonction convexe sur $I$, alors $f$ est continue sur $I.$
Attention :
Si $I$ n’est pas ouvert, la continuité au bord n’est pas nécessairement assurée.
Contre-exemple :
Par exemple si on prend l'intervalle $I= [0,1]$ et la fonction $f$ nulle sur $]0,1]$ et qui vaut $1$ en $0$, on a bien une fonction convexe non continue en $0.$
Maintenant, à toi de jouer O Shine pour la preuve. Tu utiliseras le théorème de l'inégalité des pentes.
Cordialement
J'attends son prochain topic (je parie sur Jensen mais l'inégalité des pentes ou le lien entre dérivabilité/convexité sont aussi de bons candidats).
J'attends aussi le moment où il comprendra le lien entre "ensemble convexe" et "fonction convexe", c'est peut-être pas pour cette année cela dit (pourtant son premier message/scan répond à cette question).
Arrête le massacre OShine...
Je crois que je ne savais pas avant de faire l'exercice aussi qu'il fallait utiliser la convexité.
Je n'ai pas encore vu l'inégalité des pentes.
La fonction qui définie sur $[0,1]$ et qui vaut $1$ en $0$ et $0$ ailleurs est convexe mais pas continue.
@Ibni
Je n'ai pas compris le rapport entre ta question et la convexité
Pour la conservation du barycentre, c’est Alexique qui te faisait la remarque et tu as répondu que tu ne l’avais pas encore vu. Je t’ai répondu que en principe...si.
Mais sinon, il y a évidemment un lien entre barycentre et convexité puisque une fonction est convexe si et seulement si l'image du barycentre pondéré positivement de deux points est inférieure ou égale au barycentre des images..., non?
Ou alors parles-tu de la question sur l’image d’un convexe par une application affine?
Écoute, prends du recul OShine, tu pars dans tous les sens.
Je parlais de la question suivante, je ne vois pas quelle propriété voulais-tu mettre en évidence :-S
"Si tu multiplies toutes les notes d’un devoir surveillé de 3ième par une constante (disons 1,15) et que tu ajoutes à chaque note une autre constante (disons 0,5), que devient la moyenne m initialement calculée?"
Je réponds à cette question. Soit $m$ la moyenne arithmétique et $x_i$ les notes. Soit $m'$ la nouvelle moyenne après transformation.
On a $m=\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^n x_k }{n}$
On pose $x_i '=1,15 x_i +0,5$ alors $m'=\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^n x_k ' }{n}=1,15 m +0,5$
On a montré $\boxed{m'=1,15 m +0,5}$
On a $m'= bar ((m;1,15),(0,5;1))$
Soit bar représente la notion de barycentre, et tu as encore écrit n'importe quoi.
Je penche pour la 2ème version.
En fait, à chaque message, tu fais une nouvelle erreur.
En fait $1,15$ et $0,5$ ne sont respectivement que le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de notre fonction affine.
Ta dernière relation encadrée veut plutôt dire que si $m$ est la moyenne des $(x_i)$, alors $f(m)$ est la moyenne des $f(x_i)$:
Si $m$ est le barycentre du système $\{(x_1, k_1);(x_2,k_2);...;(x_n,k_n)\}$ alors, $f(m)$ est le barycentre du système $\{(f(x_1), k_1);(f(x_2),k_2);...;(f(x_n),k_n)\}$.
Ici, tu l’as démontré avec $k_i =1$ pour $i \in \{1,...,2\}$.
Quel est le souci ? Parce que j'ai déjà vu un certain nombre d'images humoristiques, parfois animées, être utilisées sur le forum, comme le smiley irlandais de Gérard qui est amusant.
PS: Je n'utilise aucun réseau social, donc cette référence ne me parle pas.
[Essayons de conserver la sobriété que le forum a su conserver jusqu'à présent.
Merci. AD]
Ok merci.
@Lourran
Je n'ai pas de recul sur les barycentres, je ne maitrise pas trop cette notion.