Intégrale et série du 26 mai 2021

$\displaystyle { \sin(x)-P_n(x) }=\sum_{k=n}^{+\infty}(-1)^{k-1}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$ donc
$\displaystyle u_n=\int_{0}^{+\infty}\frac{\sum_{k=n}^{+\infty}(-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}}{x^{2n+1}} dx=\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}\int_0^\infty x^{2k-2n}\mathrm dx$

O-OOw diverge

Oui, l'échange mérite un argument : il n'est pas possible puisqu'il transforme une suite bien définie en une somme infinie (alternée) de termes tous infinis...

Perso, j'écrirais volontiers une formule de Taylor avec reste intégral avec une intégrale double en ligne de mire.

Bon en fait mon Taylor reste intégral ne donne pas grand chose. Inverser les sommes en majorant comme un bourrin ne donne rien, et j'ai l'impression que même en faisant plein d'IPP pour avoir une bonne expression de l'intégrale de fonctions type $\dfrac{(x-t)^{2n}}{x^{2n+1}}\sin(t)$ on n'a rien.

Sinon sans justifier l'échange on a bien le résultat du vdd de mon vdd, je crois avoir eu un blocage pour m'être trompé d'une puissance sur le $x$.
Il faut aussi faire les n impairs.

Bonjour à tous. Avec la formule de Taylor reste intégrale, on obtient quelque chose d'intéressant je crois : $$-u_n=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac 1{x^{2n+1}}\left(\int_0^x\frac{(x-t)^{2n-1}}{(2n-1)!}\sin^{(2n)}(t)\mathrm{d}t\right)\mathrm{d}x=
(-1)^n\int_0^{+\infty}\frac 1{x}\int_0^1\frac{(1-t)^{2n-1}}{(2n-1)!}\sin(tx)\mathrm{d}t\mathrm{d}x$$$$=
\frac{(-1)^n}{(2n-1)!}\int_0^1\left(\int_0^{+\infty}\frac {\sin(tx)}{x}\mathrm{d}x\right)(1-t)^{2n-1}\mathrm{d}t=
\frac{(-1)^n}{(2n-1)!}\int_0^1\frac\pi 2(1-t)^{2n-1}\mathrm{d}t=\frac{(-1)^n\pi}{(2n)!},$$ d'où le résultat...avec une interversion d'intégrales à justifier !

Pour généraliser il faut déjà une fonction qui soit paire ou impaire.

Dans le cas de $\sin$ et $\cos$, $u_n$ se calcule en effectuant des intégrations par parties jusqu'à ce que la partie polynômiale disparaisse. Cela marche car les dérivées $n$-ème de $\sin$ et $\cos$ s'expriment très simplement.

Dans le cas de $\arctan$ ou $x\mapsto\ln(1+x^2)$, une seule IPP suffit pour calculer $u_n$.

Je ne vois pas comment on pourrait généraliser ces cas très particuliers.

Bon dieu il y a plein de choses à dire. Plein de choses qui m'étaient tout simplement passées sous le nez en mai dernier. Je te prie de bien vouloir m'excuser @jandri de ne pas t'avoir répondu, mais je n'avais globalement aucune idée. Je ne dis pas en avoir franchement plus aujourd'hui, mais j'ai quelques pistes !
Je vais d'abord balancer une formulation un poil problématique (car incomplète et non totalement justifiée) qui devrait répondre à ta question sur la manière de "généraliser ces cas très particuliers". Afin de mieux égayer le propos, pourquoi pas s'amuser en $\LaTeX$ et faire de jolis tableaux (pas réussi gné) présentant quelques exemples (notamment un montrant qu'a priori on n'a pas nécessairement besoin d'avoir des fonctions paires ou impaires).
J'aimerais chercher l'intérêt du problème tel que généralisé mais le peu de temps dont je dispose cette semaine va m'empêcher d'aller au-delà d'une maigre tentative de parallèle algèbre / analyse pour se faire une nouvelle idée du bins.
En somme, ma tentative de réponse sera plus une suite de questions que quelque chose de clair et précis. (Mais, j'aimerais bien revenir sur le problème début janvier.)
M'excuse par avance pour les diverses "licences" mathématiques (c'est soit que je n'y ai tout simplement pas pensé, soit que je ne connais pas suffisamment les objets traités.)

(Problème, 1ère formulation) Soit $\varphi$ une fonction développable en série entière (en $0$), on note $\text{DSE}_n(\varphi)$ son développement en série entière (bidouillé) à l'ordre $n$. Soit $f(n, \alpha)$ une fonction de deux variables ($(n, \alpha) \in \mathbb{N} \times \mathbb{C}$) "suffisamment régulière" telle que $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha} f(n, \alpha) \neq 0$. (Dans la suite du problème on s'intéressera plus précisément à $f(n, \alpha)\vert_{\alpha = \pi}$). Soit $u_n(\varphi)$ la suite telle que définie ci-dessous : 

Je ne sais pas répondre à la question de la généralisation à des fonctions $\varphi$ telles que $u_n(\varphi)=f(n,\pi)$ ni à la relation avec un groupe monogène. Mais en étudiant l'exemple de la fonction $x\mapsto \ln(1+x^3)$ (ou de $x\mapsto e^{-x^3}$) j'ai compris qu'on n'avait pas besoin d'une parité pour la fonction développable en série entière.

Plutôt que de considérer $x\mapsto \ln(1+x^q)$ ou $x\mapsto e^{-x^q}$ je préfère faire un changement de variable et considérer, pour $\alpha\in]0,1[$ :
$\displaystyle u_n=\int_{0}^{+\infty}\frac{\ln(1+x) - P_n(x)}{x^{n+\alpha}} dx\quad$ avec $\quad P_n(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k-1}\dfrac{x^{k}}{k}$
$\displaystyle v_n=\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-x }- Q_n(x)}{x^{n+\alpha}} dx\quad$ avec $\quad Q_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}\dfrac{x^{k}}{k!}$ .
Avec une IPP on obtient $u_n=\dfrac{(-1)^{n-1}}{n+\alpha-1}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac1{(1+x)x^{\alpha}}dx$
d'où $$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}u_n=\dfrac{\pi}{\sin(\alpha\pi)}\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n+\alpha}$$De même on obtient $v_n=-\dfrac1{n+\alpha-1}v_{n-1}$ d'où $v_n=\dfrac{(-1)^n}{\alpha(\alpha+1)\dots(\alpha+n-1)}v_0=\dfrac{(-1)^n\Gamma(1-\alpha)}{\alpha(\alpha+1)\dots(\alpha+n-1)}$
d'où enfin avec la formule des compléments : $$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}v_n=\dfrac{\pi}{\sin(\alpha\pi)}\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{\Gamma(n+\alpha)}$$Ces deux sommes ne se calculent pas en général mais il y a une ressemblance étonnante entre les deux formules.

Rien de franchement super intéressant dans le document ci-joint, c'est plus du "raisonnement" à voix haute qui va plus ou moins en profondeur de deux trois choses pas trop décrites dans ce fil (faut y comprendre par là que ce n'est qu'un début un peu chaotique…). 

Structure du document : au début on résume surtout ce qui a été dit (en apportant quelques précisions), ensuite on synthétise ce qui a été obtenu (pour le sinus, cosinus, arc tangente et ça devient plus "problématique" avec les logarithmes), à cela on ajoute la recherche de quelques relations. Et ensuite… saut dans l'inconnu (suite au prochain épisode).

Merci beaucoup @YvesM et @jandri, je suis loin de maîtriser les techniques de calcul dont vous parlez mais je fais mon petit bout de chemin. À force… on verra bien…

@evariste21 : je t'avoue ne pas avoir réussi à trouver la planche du POX des années 80 dont provient cet exercice.