zeta(2) et les rationnels

Si on prend $r=\dfrac{1}{2}$ quel ensemble $A$ va t-on prendre pour que $\displaystyle \sum_{k\in A} \frac1{k^2} = r$?

NB: si j'ai bien compris ce qui est demandé on peut choisir $r=\dfrac{1}{2}$
Par ailleurs, $\displaystyle \sum_{k=2}^7 \dfrac{1}{k^2}=0,511...$ et $\displaystyle \sum_{k=2}^6 \dfrac{1}{k^2}=0,491...$
(édit: cela ne sert à rien ces égalités)

Si j'ai bien compris, ce que demande Etanche est, soit $0<r<\dfrac{\pi^2}{6}-1$, un rationnel, existe-t-il $n$ entiers $i_1,i_2,\ldots,i_n$ strictement plus grands que $1$ tels que $r=\dfrac{1}{i_1^2}+\dfrac{1}{i_2^2}+\cdots+\dfrac{1}{i_n^2}$ ?

PS. Je pressens que pour, par exemple, $r=\dfrac{1}{2}$ on ne va pas pouvoir trouver ces $n$ entiers (car ils n'existent pas !)

Dans l'article Wikipedia cité par Dreamer il est fait référence à cet article On finite sums of reciprocals of distinct nTH powers, de R.L Graham, (1964).

PS. Mon intuition n'était pas bonne, semble-t-il, mais je suis curieux de connaître l'écriture de $1/2$.

Oui j'ai lu trop vite une fois de plus

Pour avoir initialement testé un rationnel proche de $\frac{\pi^2}{6}-1$ et ayant un développement décimal illimité périodique, je dois dire que je mettais aussi au départ fortement en doute la finitude.

Il se fait que les fractions égyptiennes ont des preuves de finitude, et si elles sont transposables aux sommes d'inverses de carrés, cela devrait coller, même si trouver un exemple explicite risque d'être compliqué.

À bientôt.

Fin de partie : j'en ai vu quelque uns, mais pour le moment je ne vois pas ce qui est transposable à ce cas.

Peut-être Guego pourrait-il donner l'origine de sa solution d'il y a 9 ans ?

Parce que les articles, maintenant on les a, mais après un survol en diagonale, je n'ai rien vu d'exploitable de suite.

À suivre.

[Édit : en regardant l'exemple de Guego dans le blanc des yeux, j'y vois des décompositions du style $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{(ab)^2}$, pour $a$ et $b$ premiers entre eux. Cela me fait penser à certaines choses, mais c'est encore trop flou.]

Fin de partie : Tu as raison, mais ici, c'est le genre de question où, à brûle pourpoint, j'ai subitement un trou, hormis ce que je viens de mettre dans mon dernier Édit, cela concerne normalement le principe d'inclusion-exclusion avec alternance de signes, d'où ma confusion sur les signes positifs.

Je reviens juste pour une petite chose concernant les représentations de $\frac{1}{2}$ comme somme d'inverses de carrés.

En regardant bien le résultat de Guego d'il y a 9 ans et en le mettant en relation avec le résultat de l'article de Graham, je constate qu'ils sont différents.

Donc, si algorithme il y a, il n'est pas unique, ou à tout le moins doit pouvoir être paramétré pour faire des sorties différentes.

Ce qui pose ainsi la question annexe du nombre de représentations finies d'un rationnel donné, et aussi de la façon dont croît le nombre de termes pour les différentes représentations.

À suivre.

Je vois qu'on m'interpelle. Pour l'algo utilisé, c'était une bête recherche informatique.
On cherche à écrire $r$ (ici $r=1/2$) comme somme d'inverses de carrés distincts : $r=\dfrac{1}{i_1^2} + \dfrac{1}{i_2^2}+\cdots+\dfrac{1}{i_k^2}$ avec $i_1<\ldots<i_k$. On a en particulier $\dfrac{1}{i_1^2}\leqslant r$. On teste tous ces $i_1$ (on s'arrêtant dès qu'on dépasse une certaine borne fixée à l'avance sinon le programme ne s'arrête jamais). Ensuite, rebelote avec $i_2$, qui doit être plus grand que $i_1$ et qui doit vérifier $\dfrac{1}{i_2^2} \leqslant r-\dfrac{1}{i_1^2}$ et ainsi de suite récursivement. Quand on tombe sur une solution, on l'affiche.
Après, on peut faire pas mal d'optimisations. Par exemple, si on cherche à écrire $\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{i_1^2} + \dfrac{1}{i_2^2}+\cdots+\dfrac{1}{i_k^2}$ avec $i_1<\ldots<i_k\leqslant 25$, on peut voir que, pour des raisons arithmétiques, on ne peut pas avoir de $i_j$ égal à $13$, ou à $17$, ou à $19$, ce qui élague un peu l'arbre de recherche. On peut aussi diminuer la complexité avec des astuces type "Meet-in-the-middle" https://en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem#Meet-in-the-middle, car ce n'est rien d'autre qu'un problème type "sac à dos".
Après, je n'en dirai pas beaucoup plus, au cas où certains veulent se mesurer au problème 152 de project euler https://projecteuler.net/problem=152

Edit : plutôt que se fixer sur une borne supérieure sur les $i_j$, on peut aussi se fixer une borne sur le nombre $k$ de termes à utiliser. Ainsi, $\dfrac{1}{i_1^2} + \dfrac{1}{i_2^2}+\cdots+\dfrac{1}{i_k^2} \leqslant \dfrac{k}{i_1^2}$, ce qui donne une borne supérieure sur $i_1$, puis de même ensuite sur $i_2$, $i_3$, etc. C'est ce que j'ai dû utiliser dans mon exemple d'il y a 9 ans. J'avais dû me fixer un max de $9$ ou $10$ termes.

Merci.

Je ne suis pas encore arrivé à ce problème, et cela m'intéresse donc, merci de ne pas avoir trop divulgaché.

Il doit y avoir quelque chose de plus subtil que de la recherche exhaustive avec élagage, c'est souvent le cas avec les problèmes de ce site, parfois même des formules (temps constant).

À bientôt.