Intervalles et convexité
Bonsoir
Dans mon livre je vois le passage suivant :
Il est clair que tout intervalle de $\R$ est convexe.
Ce n'est pas très clair pour moi. Je n'arrive pas à le démontrer.
Les résultats suivant dont je dispose.
1) Les intervalles de $\R$ sont les parties de $\R$ vérifiant $\forall x \in I ,\ \forall y \in I, \ [x,y] \subset I$.
2) Une partie $C$ est convexe si $\forall (c_1,c_2) \in C^2, \ \forall \lambda \in [0,1] ,\ \lambda c_1 + (1-\lambda)c_2 \in C$.
Dans mon livre je vois le passage suivant :
Il est clair que tout intervalle de $\R$ est convexe.
Ce n'est pas très clair pour moi. Je n'arrive pas à le démontrer.
Les résultats suivant dont je dispose.
1) Les intervalles de $\R$ sont les parties de $\R$ vérifiant $\forall x \in I ,\ \forall y \in I, \ [x,y] \subset I$.
2) Une partie $C$ est convexe si $\forall (c_1,c_2) \in C^2, \ \forall \lambda \in [0,1] ,\ \lambda c_1 + (1-\lambda)c_2 \in C$.
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Réponses
Soit $I$ un intervalle de $\R$. Soient $(x,y) \in I^2$ et soit $\lambda \in [0,1]$.
Comme $0 \leq \lambda \leq 1$ et $0 \leq 1-\lambda \leq 1$.
Je n'arrive pas à montrer que $\lambda x+(1-\lambda)y \in I$.
1) Si x = y
...
2) Si x < y
...
3) Si x > y
...
Ce n'est pas à prouver, c'est toujours vrai si $x, y \in I$, le paramètre $\lambda$, compris entre 0 et 1, sert à spécifier à quel endroit du segment xy se trouve le point voulu, qui par définition appartient au segment xy, qui par définition appartient à I, puisque x et y appartiennent à I.
À bientôt.
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Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
1) Si $x = y$
alors $\lambda x+(1-\lambda)y = \lambda x+(1-\lambda)x = x$
2) Si $x < y$
alors $\lambda x+(1-\lambda)x \leq \lambda x+(1-\lambda)y \leq \lambda y+(1-\lambda)y$
$x \leq \lambda x+(1-\lambda)y \leq y$
3) Si $x > y$
alors $\lambda y+(1-\lambda)y \leq \lambda x+(1-\lambda)y \leq \lambda x+(1-\lambda)x$
$y \leq \lambda x+(1-\lambda)y \leq x$
Dans les trois cas,$ \lambda x+(1-\lambda)y$ appartient à $I$.
@OS : tu peux aussi voir que tout point du segment est le barycentre de ses extrémités affectés de coefficients particuliers vu que tu traites cela en ce moment. Et quand tu dis progresser a force de lire des corrigés de docsolus, tant que tu feras ce genre de topic, je ne te croirais pas. Tu ne progresses pas et je suis à chaque fois surpris de ce que tu sembles découvrir.
Je vais déstabiliser Oshine
Oshine montre nous que tout intervalle est strictement convexe. Si tu ne connais pas la définition d'une ensemble strictement convexe, cherche la
Donc je ne serai jamais normalien mais c’est pas grave, ce n’est plus mon objectif de vie maintenant, j’en ai d’autres plus à ma portée et plus pertinents et je l’assume donc je m’en fous de ne pas réussir ces exos. Et j’ai la RMS pour ne pas m’encrouter mais idem, c’est récréatif.
Alexique a dit comment tu devrais "voir" la convexité http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2251778,2251794#msg-2251794
À partir de là est-ce que tu arrives sans aucun calcul à déterminer :
- si les boules de $\R^2$ sont convexes ?
- si une boule privée de son centre est convexe ?
$$
|2x-1|- 1< |x-3|+2$$ est-il convexe ?
Merci.
@Alexique
Oui c'est vrai j'aurais du trouver seul.
Le problème de Centrale PC 2019, c'est uniquement la dernière partie qui est d'un niveau très élevé. Les autres parties sont très accessibles et proches du cours. J'ai trouvé la majorité des questions. Mais il est vrai que cette dernière partie est ardue et que je n'ai réussi aucune des questions.
@Bd2017
Merci pour l'exercice. Il n'est pas convexe car si $x>3$, on trouve $2x-1-1<x-3+2$ donc $x<1$. Finalement $x<1$ et $x>3$. Or $[1/2,4]$ n'est pas inclus dans $]-\infty,1[ \cup ]3,+\infty[$.
@Gebrane
Je suis déjà bloqué dans la preuve du résultat suivant :
Les convexes de $\R$ sont les intervalles de $\R$.
La caractérisation de la borne supérieure donne l'existence d'un $c^{+}$ tel que $c < c^{+} \leq b$
Je ne comprends pas pourquoi $c^{+} \in I \cap ]c,b[$.
P.S pas vu le message d'Alexique.... Evidemment quand on parle de boules convexes pour @Os, je veux bien mais depuis X temps j'ai dit qu'@Os doit d'abord savoir faire tous les exo de collège- terminale.
Ohhh !!!
Cordialement,
Rescassol
Concernant ma question ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2251778,2251978#msg-2251978 ce n'est pas un calcul à faire c'est juste pour OShine une façon de tester sa capacité à "voir les objets" mathématiques. S'il n'arrive pas à répondre à ces questions facilement alors je ne vois pas trop l'intérêt pour lui de se lancer dans des calculs concernant la convexité...
Notons $B(x,a)= \{ x \in \R^2 \ | \ ||x-a || \leq r \}$ la boule fermée de centre $a$ et de rayon $r$.
Soient $(c_1,c_2) \in \R^2$ et $\lambda \in [0,1]$. On a $\lambda c_1 + (1- \lambda)c_2= \lambda (c_1-a)+(1- \lambda) (c_2-a)$
D'après l'inégalité triangulaire $||\lambda c_1 + (1- \lambda)c_2|| \leq ||\lambda (c_1-a)|| + ||(1- \lambda) (c_2-a)|| \\ \leq \lambda ||c_1-a|| + (1-\lambda) ||c_2-a|| \leq \lambda r+(1- \lambda) r = r$
Donc $\lambda c_1 + (1- \lambda)c_2 \in B$.
Pour la boule ouverte le résultat est identique.
Pour la boule privée de son centre, elle n'est pas convexe. Un dessin suffit à s'en convaincre. Mais je ne sais pas le démontrer rigoureusement.
OK alors sans le prouver rigoureusement qu'est-ce qui te fait dire qu'elle n'est pas convexe en regardant ton dessin ?
Ôtez-moi un doute : une boule (qu'elle soit ouverte ou fermée), elle est bien forcément remplie ?
Merci d'avance.
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Je prends un segment qui passe par le centre, il ne sera pas inclus dans la boule.
Résolvons $|2x-1| -1 <|x-3|+2$
Si $x>3$ alors $2x-1-1<x-3+2$ soit $x >1$
Si $1/2 < x < 3$ alors $2x-1-1<3-x+2$ soit $2x-2<5-x$ et $x< 7/3$
Si $x< 1/2$ alors $1-2x-1<3-x+2$ et donc $-2x<5-x$ soit $x>-5$
Donc $S=]1, + \infty [ \cup ]- \infty,7/3[ \cup ]-5,+\infty[ $ finalement $\boxed{S=]1,\dfrac{7}{3}[}$ qui est un intervalle de $\R$ donc un convexe.
Tu voulais écire $x>3$ ? ;-)
(Il y a des coquilles. Par exemple tu as un $x>1$ au lieu de $x<1$ sur la même ligne que $x>0$.)
Hormis la coquille du a) avec le 0 au lieu du 3, je crois comprendre que pour toi $x>3$ et $x>1$ implique $x \in ]1, + \infty [$ . C'est faux.
De même, $1/2 < x < 3$ et $x< 7/3$ n'implique pas $x \in ]- \infty,7/3[$
Même erreur pour le c).
Puis pour toi la solution est l'union de tous ces intervalles, mais tu nous en donne l'intersection !!
Relis toi s'il te plait, c'est un exercice classique de secondaire, et ta résolution est truffée d'inepties !!!!
OK. C'étais facile mais au moins ça montre que tu sais ce qu'est un convexe.
Si $x>3$ alors $x<1$ donc $x \in \emptyset$
Si $1/2<x<3$ alors $x<7/3$ donc $x \in ]1/2,7/3[$.
Si $x<1/2$ alors $x \in ]-5,1/2[$.
Donc $\boxed{S=\emptyset \cup ]1/2,7/3[ \cup ]-5,1/2[ = ]-5,7/3[}$
Quelqu'un pourrait m'aider sur le point de la démonstration qui me bloque ?
Je ne comprends pas pourquoi l'intervalle est forcément ouvert en $b$, ni pourquoi on a le $\cap I$.
J’insiste : ce n’est pas faux, c’est juste un manque complet de réflexion dans le raisonnement, personne d’entre nous n’aurait écrit cela. C’est comme le fait que la fonction inverse n’est pas décroissante sur R* a cause des limites à gauche et à droite en 0, c’est correcte mais c’est ridicule comme raisonnement.
Pour la boule ouverte le résultat est identique.
Mais la démonstration demande de justifier des inégalités strictes, ce n'est pas identique.
La borne supérieure de $I$ étant le plus petit des majorants de $I$, puisque $c$ est strictement plus petit que $\sup (I)$, on peut en déduire que...
Je ne comprends pas pourquoi $c^{+} \in ]c,b[ \cap I$.
Pourquoi c'est ouvert en $b$ ? Et pourquoi on a le $\cap I$ ?
@Rakam
Oui il y a un piège pour la boule ouverte.
Pour la boule ouverte. On a $||c_1-a|| <r$ et $||c_2-a|| <r$. Il faut faire attention car si $\lambda=0$ on n'a plus l'inégalité stricte en multipliant par $\lambda$.
Je fais exactement le même raisonnement que précédemment et je trouve $|| \lambda c_1 + (1-\lambda)c_2 || \leq \lambda ||c_1-a|| +(1- \lambda) ||c_2-a|| $
On ne peut pas avoir à la fois $\lambda=0$ et $1- \lambda=0$.
Si on prend $\lambda >0$ alors $ \lambda ||c_1-a|| < \lambda r$
Si $\lambda=0$ alors $||c_2-a|| <r$
On a $F=I$, $M=\sup I=b$
On prend $\varepsilon =b-c >0$
Il existe $c^{+}$ tel que $ c < c^{+} \leq b= \sup I$ Il n'y a pas d'inégalité stricte en $b$.
Je ne comprends toujours pas le $]c,b[ \cap I$. D'où sort le $\cap I$ ?
Pour le fait que l’on peut exclure b, demande toi pourquoi… Pourquoi le cas x=M peut être éliminé ?
Comme $c^{+} \in I$ alors $c^{+} \leq b$.
Donc $c^{+} \in I \cap ]c,b]$. Pourquoi l'intervalle serait ouvert en $b$ ?
Es-tu certain que ce soit la bonne question....?
Pourquoi ne le serait-il pas....!
$\forall x \in [0,1],\ x \leq \sup\ [0,1]=1$, vrai ou faux ?
$\forall x \in [0,1[,\ x < \sup\ [0,1[\;=1$, vrai ou faux ?
$\forall x \in [0,1],\ x < \sup\ [0,1]=1$, vrai ou faux ?
$\exists x \in [0,1[,\ x \leq \sup\ [0,1[\;=1$, vrai ou faux ?
$\exists x \in [0,1],\ x \leq \sup\ [0,1]=1$, vrai ou faux ?
$\exists x \in [0,1[,\ x < \sup\ [0,1[\;=1$, vrai ou faux ?
$\exists x \in [0,1],\ x < \sup\ [0,1]=1$, vrai ou faux ?
Bonne nuit :-D
Un singleton.
@Alexique
Vrai
Vrai
Vrai
Faux
Vrai
Vrai
Vrai
Vrai
Un singleton est un intervalle. Donc, comme l’ensemble vide, tu supposes que $a<b$(en effet, $\emptyset \subset I$ est trivialement vrai...).
Et donc....
Par ailleurs, penses-tu que l’ouverture ou la fermeture de l’intervalle en $a$ et $b$ dans l’encadré rouge implique une autre conclusion?
Comme $a<b$ alors $]a,b[$ est un intervalle non vide et non réduit à un singleton.
On veut juste $c^{-}$ et $c^{+}$ dans $I$. Donc ça ne change rien que l'intervalle soit ouvert ou fermé.
Bon, comprends-tu tout de même que puisqu’on exclue le singleton, on peut se permettre d’ouvrir l’intervalle en $a$ et $b$ dans l’encadré rouge?