Loi de conservation scalaire

Bonjour
Je ne m'y connais pas beaucoup mais comme personne ne répond:

D'abord les caractéristiques sont $x=x_0 +(2 u_0(x_0)-1) t$

et la condition de Rankine -Hugoniot est $\sigma'(t)=\dfrac{f(u^+)-f(u^-)}{u^+-u^-}$

Donc on trouve $\sigma'(t)=u^++u^-- 1$ et il est facile de voir que la condition d'entropie est

$u^->u^+.$

Bon j'essaye de comprendre cette condition de Rankin-Hugoniot.

J'ai supprimé la fin du message précédent car le résultat que j'ai donné me semble incohérent et j'essaye de répondre à ce que j'ai cru comprendre. Merci à celui qui s'y connait de me corriger.

En tout cas pour $x_0<-1$ les caractéristiques sont // et ont pour équation :

$x(t)=x_0 + 3 t $ en particulier pour $x_0=-1$ c'est $x(t)=-1 + 3 t $

Pour $x_0>-1$ les caractéristiques ne sont pas // et ont pour équation :

$x(t)=-x_0+(-2 x_0 -1) t $ mais on peut remarquer qu'elles se coupent toutes en $t=1/2$ et dans ce cas $x(1/2)=-1/2.$

Un dessin serait préférable.

Mais les caractéristiques $x(t)=-x_0+(-2 x_0 -1) t $ rencontrent $x(t)=-1 + 3 t $

en $t=\frac{1+x2}{2 (2+x2)}$ qui est $>0$. Donc en ces points là il n'y a pas de solution au sens classique car $u=u_0(-1)=2$ et $u=u(x_2)=-x2$ sont différents.

Avec la figure, si on trace les droites $x_0(t)=-1+ 3t,$ $x(t)=-x_0+(-2 x_0 -1) t $ (pour $x_0=-1$) et $x(t)=-x_0+(-2 x_0 -1) t $ (pour $x_0=0$) , ces droites déterminent un triangle
dans lequel un caractéristique d'équation $x(t)=x0+3 t$ ($x_0<-1$) rencontre une caractéristique $x(t)=-x_1+(-2 x_1 -1) t $ , ($-1<x_1<0$)

Soit (a,t) les coordonnées d'un tel point. En ce point la condition de Rankin-Hugoniot

donne $a'(t)= u^+ u^-1 -1 = h(x_0)+h(x_1)-1=2-x_1-1=1-x_1$

Mais x_0=a-3 t et $x_1=\frac{a+t}{1-2 t}$

d'où $a'(t)=1-\frac{a(t)+t}{1-2 t}$

Il reste à résoudre cette équation différentielle :

$a(t)=-2+3 t+c\sqrt{1-2 t}$ et c=1 car $a(0)=-1$

L'équation recherchée est donc $a(t)=-2+3 t+\sqrt{1-2 t}$ pour des valeurs de t pas trop grande.