Intégrale de Riemann

Je pense que l'hypothèse de complétude est indispensable pour définir l'intégrale d'une fonction intégrable car on doit montrer que les suites des intégrales des fonctions en escalier sont convergentes, la limite étant indépendante de la suite choisie.

RDO, tome 3, édition ... ?

Bonjour.
Surtout édition Dunod, avec tout ce que cela implique.
À bientôt.

Je lis "Par conséquent, on n'a pas besoin de la complétude pour définir la Riemann-intégrabilité".
En somme tu veux définir la Riemann-intégrabilité sans pouvoir dire ce que serait l'intégrale ? Cela me semble inconséquent !

Bonjour,

Le théorème de Chasles est vrai si et seulement si l'espace d'arrivée est un espace de Banach. Voici ce qui arrive si ce n'est pas le cas: https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~guenard/Curiosites/Francois_Guenard_-_Un_exemple_de_fonction_integrable_sur_-1,_1_mais_pas_sur_0,_1.pdf

Bonjour,

Désolé pour mon dernier post avec peu (aucune?) explication (cf heure à laquelle je l'ai publié). Pour essayer de répondre à la question de topopot, on peut dire qu'une fonction $f$ d'un segment $[a,b] \subset \mathbb{R}$ à valeurs dans un espace vectoriel normé $E$ (pas encore supposé complet) est intégrable au sens de Riemann s'il existe $I \in E$ ($I$ sera l'intégrale de $f$) tel que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $\eta > 0$ tel que pour toute subdivision étiquetée $\sigma = \left( (x_i)_{0 \leqslant i \leqslant n} , (y_i)_{0 \leqslant i \leqslant n-1} \right)$ de $[a, b]$ de pas inférieur à $\eta$, on ait
$ \left\| \int_{[a, b]} f - \sum (f, \sigma ) \right\| < \varepsilon$ (où $\sum (f, \sigma )$ désigne la somme de Riemann associée à $f$ et à $\sigma$).
Autrement dit, on peut définir l'intégrale par le théorème de convergence des sommes de Riemann (avec ou sans hypothèse de complétude de $E$ pour le moment). Cette approche permet au passage de définir une intégrale dans des espaces de dimension infinie, sans utiliser la notion d'ordre que l'on utilise parfois pour définir l'intégrale dans $\mathbb{R}$ (en approchant $f$ par valeurs supérieures et par valeurs inférieures).

Maintenant, rien n'assure l'existence d'un tel $I$. Cette existence est néanmoins assurée si l'espace d'arrivée est complet (sous réserve de certaines conditions de régularité de $f$, "continue par morceaux" sur le SEGMENT $[a, b]$ étant par exemple une hypothèse suffisante). Cela repose sur des notions de filtres de Cauchy. Si vous ne connaissez que les suites de Cauchy (et pas les filtres), vous pouvez par exemple montrer que la suite $\left( \sum (f, \sigma_n ) \right)_n$ est de Cauchy (où $\sigma_n$ désigne la subdivision régulière à $n$ cellules, $\textit{i.e.}$ vous découpez $[a,b]$ de façon régulière en $n$ "sous-segments" de taille $\frac{b-a}{n}$). Cette suite étant de Cauchy ET L'ESPACE D’ARRIVÉE ÉTANT COMPLET, il existe $I$ tel que la suite converge vers $I$. Pour les autres subdivisions, on peut ensuite montrer leur convergence vers $I$ en faisant leur différence avec la subdivision régulière et en montrant que cette différence tend vers $0$ avec le pas (à vérifier mais ça doit pouvoir se faire comme ça). Ainsi, l'hypothèse de complétude de $E$ permet d'assurer l'existence de l'intégrale $I$.


Si maintenant $E$ n'est pas complet, on a néanmoins un résultat affirmant l'existence d'un complété "$F$" de $E$: en gros on rajoute des éléments à $E$ pour obtenir un espace complet. L'intégrale $I$ existera donc toujours dans le complété $F$, mais pas nécessairement dans $E$.
Le théorème de Chasles (voir comment il est énoncé dans la note que j'ai jointe à mon dernier message) se démontre par la convergence des sommes de Riemann sur $[a,b]$, sur $[a,c]$ et sur $[b,c]$. Comme cette convergence repose sur la complétude de l'espace d'arrivée, rien n'assure cette convergence dans le cas où $E$ n'est pas supposé complet, et on peut très bien imaginer que la convergence n'a pas lieu sur chacun des intervalles $[a,b]$, $[a,c]$ et $[b,c]$, d'où la construction d'une fonction intégrable sur $[-1,1]$ mais pas sur $[0,1]$ de l'article. Pire que ça: dès que $E$ n'est pas complet, vous pourrez toujours trouver une telle fonction: le théorème de Chasles est vrai si et seulement si l'espace d'arrivée est complet.

L'hypothèse de complétude de $E$ n'est donc pas nécessaire pour définir des notions d'intégrabilité et d'intégrale (avec la définition que j'ai donnée au début de ce message, $I$ existe toujours dans un complété de $E$ mais $I$ peut très bien être dans $E$), mais l'hypothèse de complétude est "nécessaire" pour avoir une théorie cohérente et éviter les bêtes étranges comme celle présentée dans l'article.

Pour information, la méthode de définition de l'intégrale ci-dessus s'étend aux intégrales de Lebesgue, Denjoy, Henstock, etc... en prenant les définitions de ces intégrales à l'aide de ces sommes de Riemann pour certains types de subdivisions de l'intervalle de départ (pour l'intégrale de Lebesgue, cf Mc Leod McShane qui a montré l'équivalence des deux définitions).

J'espère que cela vous éclaire un peu.

La "définition" donnée ne peut valoir pour la Riemann-intégrabilité : la convergence des sommes de Riemann n'est pas condition suffisante.

Soit $E=\ell^{00}$ l'espace des suites réelles à support fini, normé par : $\displaystyle\lVert{X}\rVert=\max_{n\in\N}|X_n|$; $n\mapsto a_n$ une bijection de $\N$ sur $A=\Q\cap[0,1]$.

On définit une application $f : [0,1]\to E$ par les conditions ($\delta_{ij}$ est le symbole de Kronecker):
$
f(t)= \begin{cases}
0, & \hbox{si $t\notin A$;} \\
(\delta_{np})_{n\in\N}, & \hbox{si $t=a_p$.}
\end{cases}
$

Il est clair que l'application : $t\mapsto\lVert{f(t)}\rVert$ est la fonction caractéristique des rationnels de $[0,1]$ : elle n'est pas Riemann-intégrable et il en est de même de la fonction $f$.

Par ailleurs, si $\sigma=\{x_0,\dots,x_p\}$ est une partition de $[0,1]$ de pas $\varpi(\sigma)$ et $\theta$ un pointage de $\sigma$, la suite
$$
R(f,\sigma,\theta)=\sum_{1\leqslant k\leqslant p}(x_k-x_{k-1})f(\theta_k)
$$
a pour terme d'indice $q$ : $0$ ou $x_k-x_{k-1}$ (s'il existe $k\in\{1,\dots,p\}$ vérifiant $\theta_k=a_q$).

Par conséquent la suite $R(f,\sigma,\theta)$ a une norme inférieure à $\varpi(\sigma)$ : on peut donc définir $\alpha$ pour avoir $\varpi(\sigma)\leqslant\alpha\implies\lVert{R(f,\sigma,\theta)-0}\rVert\leqslant\varepsilon$.

adrien 2019, je ne comprends pas ton précédent message. Tu dis qu'une fonction $f : [a,b] \rightarrow E$ est intégrable s'il existe $I \in E$ tel que etc. Dans le paragraphe suivant, tu dis que rien n'assure l'existence d'un tel $I$. Mais justement il me semble que l'intégrabilité de la fonction assure cette existence, d'après ta définition. Si $I$ n'existe pas, c'est que $f$ n'est pas intégrable, non ?


.

@Chaurien Oui: si $I$ n'existe pas, $f$ c'est (d'après la définition généralisée que j'ai donnée), que $f$ n'est pas intégrable.

Je ne suis pas sûr non plus d'avoir compris votre question, mais je tente quand même d'y répondre. Si vous préférez, je considère une fonction $f: [a, b] \subset \mathbb{R} \to E$. Je donne ensuite une définition: "On dit que $f$ est intégrable s'il existe $I$ tel que...". Ça vous donne une définition de "$f$ est intégrable". Mais je ne dis pas que toutes les fonctions sont intégrables (c'est ce que j'entends par "rien n'assure l'existence d'un tel $I$": il n'y a pas de raison pour que toutes les fonctions $f: [a, b] \subset \mathbb{R} \to E$ soient intégrables au sens que je donne). Est-ce que cela est plus clair?

D'accord. Priorité à tes études. Vu la qualité de tes messages, je ne doute pas de ton succès.
Bien cordialement,
Fr. Ch.