Le $O$ (Landau) est-il une relation d'ordre ?

topopot · May 2021

Plaçons-nous sur l'ensemble $E:=\R^{\N}$ des suites réelles pour simplifier.

J'ai déjà lu plusieurs fois que la relation de domination $O$ se comportait comme une relation d'ordre sur $E$ mais je ne comprends pas pourquoi.

En effet, pas de problème pour la réflexivité et la transitivité. Mais pour l'antisymétrie, on a sauf erreur $n=O(2n)$ et $2n=O(n)$.

Qu'est-ce qu'il y a à corriger ?

Dom · May 2021

L’expression « se comporter comme » ne signifie pas « est ».
Je pense que l’idée de la relation d’ordre est la transitivité même si on l’a aussi pour une relation d’équivalence.

D’ailleurs n’est-ce pas plutôt pour le $o$ ? (je trouve que c’est davantage comme une relation d’ordre et moins que le $O$).

topopot · May 2021

Bah j'avoue que je ne sais pas ce que signifie « se comporte comme » si c'est différent de « est ».

Pour $o$, c'est pour le coup exactement une relation d'ordre strict (i.e. antiréflexif et transitif) sur l'ensemble des suites qui ne sont pas nulles à partir d'un certain rang.

Dom · May 2021

En effet.
Il y a $\Theta$ aussi qui est liée au $O$.

Il faudrait trouver les extraits qui disent « se comportent comme ».

ev · May 2021

Comparer :

Depuis ce matin, les élèves de la seconde orange du lycée Dick Rivers de Versailles se comportent comme des crétins.

et

Depuis ce matin, les élèves de la seconde orange du lycée Dick Rivers de Versailles sont des crétins.

e.v.

Rescassol · May 2021

Bonjour,

Il y a un lycée Dick Rivers à Versailles ? Depuis quand ?

Cordialement,

Rescassol

Calli · May 2021

Bonjour,
On définit la relation $\Theta$ sur $\Bbb R^{\Bbb N}$ par $u = \Theta(v)$ ssi $u=O(v)$ et $v=O(u)$. C'est une relation d'équivalence. Alors $O$ passe en une relation d'ordre large sur l'ensemble quotient $\Bbb R^{\Bbb N}/\Theta$. Voilà la traduction formelle de "$O$ se comporte comme une relation d'équivalence". À mi-chemin entre les deux formulations, on pourrait dire "$O$ se comporte comme une relation d'équivalence modulo $\Theta$".