Limite d'une fonction
Bonjour.
Soit $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue à droite et telle que pour tout $r \in \mathbb{N}^*,$ la suite $(f(\frac{k}{r}))_{k \in \mathbb{N}}$ converge dans $\mathbb{R}.$
Prouvez que $f$ admet une limite en $+\infty.$
Indication. Prenez, pour une valeur particulière de $r,$ la limite de $(f(\frac{k}{r}))_{k \in \mathbb{N}}$ et vérifiez qu'elle est la limite de $f$ en $+\infty.$
Pour $r=1,$ la suite $(f(k))_{k \in \mathbb{N}}$ converge vers $y \in \mathbb{R}.$ Aussi, pour tout $r,(f(\frac{k}{r}))_{k \in \mathbb{N}}$ est une suite convergente, ce qui implique $\forall \epsilon>0,\ \exists p_0,\ \forall p\geq p_0,\ \forall k \in \mathbb{N},\ |f(\frac{p+k}{r})-f(\frac{p}{r})| \leq \epsilon , \qquad (P)$
Alors, il suffit de vérifier que $\lim_{x \to +\infty}f(x)=y.$ Pour $\epsilon>0$ fixé il faut que $|f(x)-y| \leq |f(x)-f(k)|+|f(k)-y|$ pour $k$ et $x$ assez grand.
Il reste à majorer $|f(x)-f(k)|,$ comment vérifier cela ? En utilisant le continuité à droite de $f$ et $(P)$ ?
Merci.
Soit $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue à droite et telle que pour tout $r \in \mathbb{N}^*,$ la suite $(f(\frac{k}{r}))_{k \in \mathbb{N}}$ converge dans $\mathbb{R}.$
Prouvez que $f$ admet une limite en $+\infty.$
Indication. Prenez, pour une valeur particulière de $r,$ la limite de $(f(\frac{k}{r}))_{k \in \mathbb{N}}$ et vérifiez qu'elle est la limite de $f$ en $+\infty.$
Pour $r=1,$ la suite $(f(k))_{k \in \mathbb{N}}$ converge vers $y \in \mathbb{R}.$ Aussi, pour tout $r,(f(\frac{k}{r}))_{k \in \mathbb{N}}$ est une suite convergente, ce qui implique $\forall \epsilon>0,\ \exists p_0,\ \forall p\geq p_0,\ \forall k \in \mathbb{N},\ |f(\frac{p+k}{r})-f(\frac{p}{r})| \leq \epsilon , \qquad (P)$
Alors, il suffit de vérifier que $\lim_{x \to +\infty}f(x)=y.$ Pour $\epsilon>0$ fixé il faut que $|f(x)-y| \leq |f(x)-f(k)|+|f(k)-y|$ pour $k$ et $x$ assez grand.
Il reste à majorer $|f(x)-f(k)|,$ comment vérifier cela ? En utilisant le continuité à droite de $f$ et $(P)$ ?
Merci.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
$\lim_{n\to \infty} f(\frac{ n}{2^k}) =y$, pour tout $k$, mais $\{ \frac{n}{2^k}\}$ est dense dans $[0,+\infty[$
Ajout une remarque, si de plus $f$ était uniformément continue ton raisonnement marche à merveille, mais je ne vois pas pour le moment comment le sauver avec seulement la continuité à droite.
Soit $\chi :\Bbb R\to \Bbb R$ la fonction en pointe $$x\mapsto \left\{\begin{array}{ll} 1-x & \text{si } x \in [0,1]\\
1+x & \text{si } x \in [-1,0[\\
0 & \text{si } |x|>1 \end{array}\right.
$$ J'ai l'impression que la propriété demandée est fausse et que $\displaystyle f: x\mapsto \sum _{n=0}^\infty \chi(4^nx-6^n)$ est un contre-exemple. En effet, le support de $f$ est $\displaystyle \bigcup_{n=0}^\infty \Big[ \Big(\frac32\Big)^n -4^{-n} , \Big(\frac32\Big)^n +4^{-n} \Big]$ et tout $\{\frac{k}r\mid k\in\Bbb N\}$ pour $ r\in\Bbb N^*$ en est disjoint au voisinage de l'infini.
Édit : Je crois que ce raisonnement est faux.
Si on cherche un contre-exemple on se retrouve avec le même genre de construction que Calli.
Si on cherche une preuve on ne voit pas trop comment utiliser la continuité à droite.
"on conclut en utilisant la continuité à droite", le résultat, pourquoi est-il vrai? Elle a utilisé les "dyadiques", le résultat est vrai pour $\mathbb{Q},$ Il apparait qu'elle a utilisé la densité.
D'une manière plus précis, soit x>0, appelons la suite$(x_k)$ définie par $x_k=\frac{E(2^k x)}{2^k}$ on a $x_k$ converge en décroissant vers x , donc continuité à droite f(x_k) tend vers f(x) et on peut continuer comme tu l'as fait
$|f(x)-y| \leq |f(x)-f(x_k)|+|f(x_k)-y|<\epsilon $
Notons $D = \{n \,2^{-k}\mid(n,k)\in\Bbb N^2\}$. Il n'est pas vrai que $\big(\forall k\in\Bbb N, f(n\, 2^{-k})\underset{n\to\infty}\longrightarrow \ell \big) \Rightarrow f(x)\underset{\substack{x\to\infty\\ x\in D}}\longrightarrow \ell$. Mais j'ai l'impression que, gebrane et zazou, vous l'avez implicitement admis.
En fait, ma première tentative de contre-exemple fonctionnait, donc je vais la reprendre en la justifiant.
Soient $\chi :\Bbb R\to \Bbb R$ la fonction en pointe $$x\mapsto \left\{\begin{array}{ll} 1-x & \text{si } x \in [0,1]\\
1+x & \text{si } x \in [-1,0[\\
0 & \text{si } |x|>1 \end{array}\right.
$$ et $$\displaystyle f: x\mapsto \sum _{n=0}^\infty \chi\Big( 4^n \Big[ x-\Big(\frac32\Big)^n \Big] \Big).$$
Alors $f$ est continue, son support est $\bigcup\limits_{n=0}^\infty [ (\frac32)^n -4^{-n}, (\frac32)^n +4^{-n} ]$ et elle ne possède pas de limite en $+\infty$.
Soit $r\in\Bbb N^*$. Montrons que la suite $(f(\frac{k}r))_{k\in\Bbb N}$ converge néanmoins vers 0.
On a pour tout $k\in\Bbb N$ et pour tout $n>v_2(r)$ : $$\Big|\frac{k}r - \Big(\frac32\Big)^n\Big| = \frac{|2^n k -3^n r|}{2^n r} \geqslant \frac1{2^n r}$$ car $2^n k -3^n r$ est un entier non nul.
De plus, $4^{-n} = o(\frac1{2^n r})$, donc $\exists n_0\in\Bbb N, \forall n>n_0,4^{-n} < \frac1{2^n r}$. Posons $n_1 = \max(v_2(r),n_0)$. Soit $k_0$ tel que : $\frac{k_0}{r} > \max\limits_{n \in0,n_1} ( (\frac32)^n +4^{-n} ) $. Alors : $$\forall k>k_0, \forall n\in\Bbb N,\qquad \Big|\frac{k}r - \Big(\frac32\Big)^n\Big| > 4^{-n}.$$ Ce qui veut dire que $\frac{k}r$ n'appartient pas au support de $f$. Donc $(f(\frac{k}r))_{k\in\Bbb N}$ est nulle à partir d'un certain rang.
Je suis un peu surpris parce que si on regarde par exemple ce livre page 58-59, on a
$$\lim_{t\in D, t\uparrow\infty} X_t = X_\infty$$
et l'auteur écrit ensuite que la continuité à droite permet de conclure.
$$\lim_{t\uparrow\infty} X_t = X_\infty$$
Ce qui me semblait pouvoir être prouvé comme je l'ai fait. Sais-tu où est le problème dans ma preuve sur le forum de probabilités?
Il faut donc peut-être raisonner directement sur le nombre de montées (qui doit être le même pour le processus continu) ?
- On suppose que, pour tout $r\in\Bbb N^*$, $(f(\frac{k}r))_{k\in\Bbb N}$ converge et on montre alors que $ f(x)\underset{\substack{x\to\infty\\ x\in D}}\longrightarrow \ell$ où $D$ est un ensemble dense de rationnels, par exemple $D=\Bbb Q$ ou $D = \{n \,2^{-k}\mid(n,k)\in\Bbb N^2\}$.
- On suppose que $ f(x)\underset{\substack{x\to\infty\\ x\in D}}\longrightarrow \ell$ où $D$ est un ensemble dense dans $\Bbb R$ et on en déduit que $ f(x)\underset{\substack{x\to\infty\\ x\in \Bbb R}}\longrightarrow \ell$.
Toi tu as bien démontré (2) mais tu as sauté (1). Or c'est là que ça coince et c'est pour ça que la propriété demandée est fausse. (2) est vrai mais pas (1).EDIT: J'ai reformulé.
En tout cas, merci pour le contre-exemple, j'aurai appris que 1) était fausse.
Est-ce que cela veut dire qu'il y a une erreur dans la preuve théorème 3.4.1. a) page 35: cours ? L'auteur a laissé des détails nécessaires.
Peut-être la reformulation du problème posé ci-dessus est incorrecte !
Si la preuve est vraie, comment relever le problème pour conclure de la "continuité à droite" que $(X_r)_{r \in \mathbb{R}^+}$ converge p.s ?