Résolution d'une EDP
dans Analyse
Bonsoir à tous
N'ayant pas les compétences en mathématiques je me tourne vers vous pour vous proposer ce petit problème.
Est-ce que quelqu'un serait en mesure de trouver (si elles existes) les solutions de l'EDP suivante : $$
\frac{\partial f}{\partial x}+\Big(\frac{\partial f}{\partial y}\Big)af=0.
$$ Etant donné la forme je ne suis pas sûr qu'il y ait des solutions mais sait-on jamais :-)
$a$ est un nombre réel positif et disons que pour $x,y=0,\ f(x,y)=0$ et pour $x\to\infty,\ f(x,y)\to 0$ et pour $y\to \infty,\ f(x,y)\to \infty$.
Merci et n'hésitez pas à me dire s'il faut plus de précision ou autre ! (tu)
N'ayant pas les compétences en mathématiques je me tourne vers vous pour vous proposer ce petit problème.
Est-ce que quelqu'un serait en mesure de trouver (si elles existes) les solutions de l'EDP suivante : $$
\frac{\partial f}{\partial x}+\Big(\frac{\partial f}{\partial y}\Big)af=0.
$$ Etant donné la forme je ne suis pas sûr qu'il y ait des solutions mais sait-on jamais :-)
$a$ est un nombre réel positif et disons que pour $x,y=0,\ f(x,y)=0$ et pour $x\to\infty,\ f(x,y)\to 0$ et pour $y\to \infty,\ f(x,y)\to \infty$.
Merci et n'hésitez pas à me dire s'il faut plus de précision ou autre ! (tu)
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Réponses
$f( x,y)=A(x) B(y)$
Posont $f(x; y)=t(x)g(y)$
\[ g(y)t'(x)+a g'(y)t(x)t(x)g(y)=0 \\
t'(x)+a g'(y)t(x)^{2}=0.
\] Donc $g(y)$ dépend de $x$...
\[g(y)=\int \frac{-t'(x)}{t(x)^{2}}dx.
\] Si vous voyez ce que je veux dire :-)
PS. Je suis sûr à 300% que je me suis trompé totalement :-)
Quand tu as une fonction de $x$ égale à une fonction de $y$ pour tout $x$ dans un intervalle et tout $y$ dans un autre intervalle, la solution évidente est que ces deux fonctions sont...
On peut vérifier que $f$ est constante le long de toutes les droites du plan de la forme $\{(x+t,y+taf(x))\mid t\in\Bbb R\}$. Si $f$ n'est pas constante, celles-ci s'intersectent, ce qui mène à une absurdité. Donc les seules solutions de l'EDP sur $\Bbb R^2$ sont les fonctions constantes.
En revanche, il existe des multitudes de solutions sur des domaines plus petits, par exemple $f:(x,y)\mapsto \dfrac{y}{ax}$ sur $\Bbb R^*\times\Bbb R$.
En revanche si g(x) et t(x) sont nuls, on a f(x; y)=0 et vu que je cherchais les autres solutions...(j'aurais du le préciser).
PS: "$g$ ou $t$" c'est singulier ou pluriel ?
Plutôt les solutions données par Calli : f(x,y)=y/ax ou est-ce que l'approche de Quentino peut mener à d'autres solutions intéressantes ? :-)
Les solutions réelles sont de la formes $\displaystyle f(x,y)={a c x \pm \sqrt{a^2 c^2 x^2-4 a c y}\over 2 a}$ pour $a\neq 0$, $c $ une constante réelle quelconque et $\displaystyle a^2 c^2 x^2-4 a c y\geq 0.$
Les solutions vérifient $f(0,0)=0.$
Le cas $a=0$ se traite facilement.
Edit : Envoyé en même temps que le message d'Yves.
@calli : Un exemple de solution qui n’est pas de cette forme ?
Bonjour, nous allons résoudre ce problème en utilisant la méthode des caractéristiques.
Le système d'EDOs de Charpit-Lagrange s'écrit :
$$\frac{dx}{1}=\frac{dy}{af}=\frac{df}{0}$$
Une première équation caractéristique est :
$$f=c_1$$
$c_1=$constante, du fait que nécessairement $\frac{df}{0}\neq\infty\implies df=0$.
Une seconde équation caractéristique est obtenue en résolvant $\frac{dx}{1}=\frac{dy}{af}=\frac{dy}{ac_1}$ :
$$ac_1x-y=c_2$$
La solution générale de l'EDP sous forme implicite $c_2=\Phi(c_1)$ est $ac_1x-y=\Phi(c_1)$ :
$$\boxed{axf-y=\Phi(f)}$$
$\Phi$ est une fonction arbitraire (qui pourrait ultérieurement être déterminée si les conditions aux limites spécifiées sont suffisantes).
Donc, comme on pouvait s'attendre dans le cas général (sans condition), l'EDP a une infinité de solutions puisqu'une infinité de fonctions $\Phi$ sont possibles.
VERIFICATION :
$af+ax\frac{\partial f}{\partial x} = \Phi'(f)\frac{\partial f}{\partial x}\quad\implies\quad \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{af}{\Phi'(f)-ax}$
$ax\frac{\partial f}{\partial y}-1= \Phi'(f)\frac{\partial f}{\partial y}\quad\implies\quad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{ax-\Phi'(f)}$
$\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}a\:f=\frac{af}{\Phi'(f)-ax}+\frac{1}{ax-\Phi'(f)}af=0$ ce qui satisfait bien l'EDP.
CONDITIONS spécifiées ::
Première condition : $f(0,0)=0 \quad\implies\quad \Phi(0)=0$
Il reste donc encore une infinité de possibilités.
Deuxième condition : $f(\infty,y)=0 \quad\implies\quad a(\infty*0)-y=\Phi(0)$
Puisque $ (\infty*0)$ est indéterminé cette condition n'enlève pas toute possibilité.
Troisième condition : $f(x,\infty)=\infty \quad\implies\quad \infty=\Phi(\infty)$
Conclusion :
Il existe beaucoup de fonctions $\Phi(X)$ telles que $\Phi(0)=0$ et $\Phi(X\to\infty)\to\infty$. Donc les conditions spécifiées ne sont pas suffisantes pour que l'EDP ait une solution unique. On trouvera aisément de nombreux exemples satisfaisant à la fois l'EDP et les conditions.
L'un des exemples les plus simples est obtenu avec $\Phi(X)=X$ qui donne $axf-y=\Phi(X=f)=f$
$$f(x,y)=\frac{y}{ax-1}$$
NOTE :
Dans l'énoncé, l'écriture de la condition $x,y=0 , f(x,y)=0$ peut se comprendre de plusieurs façons.
- Soit $f(0,0)=0$ : C'est ce qui a été traité ci-dessus.
- Soit $f(0,y)=0$ ET $f(x,0)=0$ ce qui est très différent du cas précédent. Dans ce cas on montre aisément que la seule solution est $f(x,y)=0$.
Mais existe-t-il une forme en particulier qui respecte les conditions suivantes ?
$a$ est un nombre réel positif et disons que pour
$x=0,\ f(x,y)=0$
$y=0,\ f(x,y)=0$
$x=y=0,\ f(x,y)=0$
$x\to\infty,\ f(x,y)\to 0$
$y\to \infty,\ f(x,y)\to b$ où $b$ est un nombre réel positif
(J'ai un peu modifié mes conditions de départ).
Et par curiosité, si l'on enlève la dernière condition où f tend vers b and y tend vers l'infini, y a-t-il des solutions ? :-)
Tu me demandes comment j'ai trouvé la solution de $\displaystyle f_x + a f f_y = 0$ ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/profile.php?4,15943.
La solution générale de cette équation est $(\star)$ : $\displaystyle y = a x (f-c) + a c x + b + \phi(f-c) = a x f(x,y) + b + \phi(f(x,y)-c)$ avec $b, c$ des constantes et $\phi$ une fonction quelconque.
Pour le vérifier, il suffit de dériver partiellement par rapport à $y$ et à $x$ et de reporter $\displaystyle \phi'(f-c)$ d'une équation dans l'autre. On trouve $\displaystyle 1=f_y (a x + \phi'(f-c))$ et $\displaystyle 0=a f + f_x (a x + \phi'(f-c)).$
Tu peux alors choisir $\phi$ dans $(\star)$ pour générer tout plein de solutions.
Sache que de la même façon, on connaît des solutions de $\displaystyle f_x + a f f_y = g(x)$ ou $\displaystyle f_x + a f f_y = h(y).$
PS: Je réponds ici car je ne réponds pas aux messages privés.
Mais alors je me demande comment vous êtes arrivé à la solution que vous avez proposée plus haut, avez-vous utilisé les conditions que j'avais données ?
EDIT : celle-ci
> Les solutions réelles sont de la formes $\displaystyle f(x,y)={a c x \pm \sqrt{a^2 c^2
x^2-4 a c y}\over 2 a}$ pour $a\neq 0$,
> $c $ une constante réelle quelconque et $\displaystyle a^2 c^2 x^2-4 a c y\geq 0.$
$x=0,\ f(x,y)=b$
$y=0,\ f(x,y)=0$
$x=y=0,\ f(x,y)=0$
$x\to\infty,\ f(x,y)\to 0$
$y\to \infty,\ f(x,y)\to c$
Dans l'EDP $a$ est un nombre réel positif et dans les conditions $b$ et $c$ sont des constantes réelles.
Pour ma solution, tu choisis $\phi$ un carré et tu résous le polynôme de degré deux en $f.$
EDIT : et donc votre solution suppose que la fonction inconnue a des dérivées partielles égales selon x et y non ? Etant donné qu'à un moment vous reportez une équation dans l'autre.
Il y a quelques jours j'ai demandé de l'aide pour résoudre cette équation :
$$
\frac{\partial f}{\partial x}+\Big(\frac{\partial f}{\partial y}\Big)af=0.
$$ J'ai ensuite entrepris de la résoudre moi-même et j'ai imaginé que la solution pourrait être de la forme :
$f(x,y)=g(x)h(x,y)$ avec $g$ et $h$ des fonctions inconnues.
En rentrant tout ça dans l'équation j'obtient finalement : $g'+\dfrac{h_y'}hg+\dfrac{h_x'}{ah^2}=0,$
où $h_x'$ et $h_y'$ sont les dérivées partielle de $h$ par rapport à $x$ et $y$. On a ici clairement une équation différentielle en $g$ mais je ne suis pas très à l'aise avec les dérivées partielles lorsque qu'il faut intégrer.
À un moment je me retrouve à devoir intégrer $\dfrac{h_y'}h$ et je ne suis pas sûr du résultat. Si c'était simplement $\dfrac{h'}h$ la réponse serait $\ln(h)$ mais ici je ne suis pas sûr d'avoir déjà vu ça. Quelqu'un pour me donner une piste svp ? :-)
[Restons dans la discussion que tu as ouverte pour ton problème. AD]
Si vous voulez voir le post original il est ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2246894
A l'origine je cherchais à savoir s'il existait une solution unique à l'équation que j'ai proposée qui respecterait différentes conditions (les bonnes conditions sont en bas du post). Je ne comprenais pas toute les réponses que j'ai eu donc j'ai commencé à essayer de la résoudre après avoir eu cette idée, d'où ma question ici.
EDIT : n'hésitez pas si vous avez d'autres suggestions de solutions