Suite récurrente admettant exactement deux va
Bonjour
Soit $f : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ une fonction continue, et $u$ une suite vérifiant
$$
u_{n+1}=f\left(u_{n}\right),\qquad \text { pour } n \geqslant 0.
$$ 1. On suppose que $u$ possède une unique valeur d'adhérence. Montrer que $u$ converge.
2. On suppose maintenant que $u$ possède exactement $2$ valeurs d'adhérence $a_1$ et $a_2$. On considère les suites $v$ et $w$ définies par $v_n=u_{2n}$ et $w_n=u_{2n+1}$.
On demande de montrer que les suites $v$ et $w$ convergent.
Je sèche sur la question 2. J'ai fait quelques remarques, mais ça n'aboutit pas.
$\ast$ Si $a$ est une valeur d'adhérence de $u$, alors $a$ est une valeur d'adhérence de $v$ ou de $w$. En effet, il existe une extractrice $\varphi$ telle que la suite $(u_{\varphi(n)})$ converge vers $a$. Une infinité des entiers $\varphi(n)$ est paire ou impaire, ce qui suffit pour conclure.
$\ast$ Si $a$ est une valeur d'adhérence de $v$, comme $w_n=f(v_n)$, alors $f(a)$ est une va de $w$. Si $a$ est une valeur d'adhérence de $w$, comme $v_{n+1}=f(w_n)$, alors $f(a)$ est une va de $v$.
$\ast$ On peut aussi remarquer que l'ensemble des valeurs d'adhérence $K=\{a_1,\, a_2\}$ de $u$ est stable par $f$. En effet, si $a\in K$, alors il existe une extractrice $\varphi$ telle que la suite $(u_{\varphi(n)})$ converge vers $a$. Alors la suite $(f(u_{\varphi(n)}))=(u_{\varphi(n)+1})$ converge vers $f(a)$ donc $f(a)\in K$.
Merci d'avance pour votre aide,
Michal
Soit $f : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ une fonction continue, et $u$ une suite vérifiant
$$
u_{n+1}=f\left(u_{n}\right),\qquad \text { pour } n \geqslant 0.
$$ 1. On suppose que $u$ possède une unique valeur d'adhérence. Montrer que $u$ converge.
2. On suppose maintenant que $u$ possède exactement $2$ valeurs d'adhérence $a_1$ et $a_2$. On considère les suites $v$ et $w$ définies par $v_n=u_{2n}$ et $w_n=u_{2n+1}$.
On demande de montrer que les suites $v$ et $w$ convergent.
Je sèche sur la question 2. J'ai fait quelques remarques, mais ça n'aboutit pas.
$\ast$ Si $a$ est une valeur d'adhérence de $u$, alors $a$ est une valeur d'adhérence de $v$ ou de $w$. En effet, il existe une extractrice $\varphi$ telle que la suite $(u_{\varphi(n)})$ converge vers $a$. Une infinité des entiers $\varphi(n)$ est paire ou impaire, ce qui suffit pour conclure.
$\ast$ Si $a$ est une valeur d'adhérence de $v$, comme $w_n=f(v_n)$, alors $f(a)$ est une va de $w$. Si $a$ est une valeur d'adhérence de $w$, comme $v_{n+1}=f(w_n)$, alors $f(a)$ est une va de $v$.
$\ast$ On peut aussi remarquer que l'ensemble des valeurs d'adhérence $K=\{a_1,\, a_2\}$ de $u$ est stable par $f$. En effet, si $a\in K$, alors il existe une extractrice $\varphi$ telle que la suite $(u_{\varphi(n)})$ converge vers $a$. Alors la suite $(f(u_{\varphi(n)}))=(u_{\varphi(n)+1})$ converge vers $f(a)$ donc $f(a)\in K$.
Merci d'avance pour votre aide,
Michal
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Réponses
Précisément, je n'arrive pas à le montrer...
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
1. Notons $\ell$ l'unique valeur d'adhérence de la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ et une suite extraite $\left(u_{\varphi\left(n\right)}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ de limite $\ell.$
La suite $\left(u_{1+\varphi\left(n\right)}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $f\left(\ell\right)$ par continuité de $f;$ donc :
$f\left(\ell\right)=\ell.$
Supposons que $u$ ne converge pas vers $\ell.$ Alors il existe $\epsilon>0$ telle que :
$$
\forall N\in\mathbb{N},\ \exists n\geqslant N;\qquad\left|u_{n}-\ell\right|>\epsilon.
$$ Comme $f$ est continue en $\ell$ et vu que $f\left(\ell\right)=\ell,$ il existe $\delta>0$ tel que :
$$
\forall z\in\mathbb{C},\qquad \left|z-\ell\right|<\delta\Rightarrow\left|f\left(z\right)-\ell\right|\leqslant\epsilon.
$$ Chacun des deux ensembles :
$$
A=\left\{ n\in\mathbb{N}\mid \left|u_{n}-\ell\right|<\delta\right\}
\quad \ \text{et}\ \quad
B=\left\{ n\in\mathbb{N}\mid \left|u_{n}-\ell\right|>\epsilon\right\}
$$ étant infini, on peut construire une suite extraite $\left(u_{\psi\left(n\right)}\right)_{n\geqslant0}$ telle que
$$
\forall n\in\mathbb{N},\qquad\left\{ \begin{array}{c}
\left|u_{\psi\left(2n\right)}-\ell\right|<\delta\\
\left|u_{\psi\left(2n+1\right)}-\ell\right|>\epsilon
\end{array}\right.
$$ Pour tout $n\in\mathbb{N},$ posons :
$$
\sigma(n)=\max\left\{ k\in[\![\psi(2n)\, ; \psi(2n+1)]\!] \mid\ |u_{k}-\ell|<\delta\right\}.
$$ Alors :
$$
\forall n\in\mathbb{N},\qquad \delta\leqslant\left|u_{1+\sigma\left(n\right)}-\ell\right|\leqslant\epsilon.
$$ Comme la couronne $K=\left\{ z\in\mathbb{C}\mid\delta\leqslant\left|z-\ell\right|\leqslant\epsilon\right\} $ est compacte, on peut extraire de la suite $\left(u_{1+\sigma\left(n\right)}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ une sous-suite $\left(u_{\alpha\left(n\right)}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ qui converge vers un nombre complexe $\lambda\in K,$ d'où en particulier $\lambda\neq\ell.$
Contradiction.
Une approche possible pour la suite. Si par exemple $f(a_1)=a_1$, tu peux faire un raisonnement analogue pour prouver que pour $n$ grand, tous les $u_n$ sont dans une boule $B(a_1,\delta)$ et donc que $a_2$ n'est pas une valeur d'adhérence.
Alternativement, tu peux peut être prouver le lemme général suivant une bonne fois pour toute:
Si $u_{n+1}=f(u_n)$, si $(u_n)$ a un nombre fini de valeurs d'adhérence, si l'une d'elles est un point fixe de $f$, alors $(u_n)$ converge vers elle.