Suite récurrente admettant exactement deux va

Namiswan
Précisément, je n'arrive pas à le montrer...

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

Comme ça.

1. Notons $\ell$ l'unique valeur d'adhérence de la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ et une suite extraite $\left(u_{\varphi\left(n\right)}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ de limite $\ell.$
La suite $\left(u_{1+\varphi\left(n\right)}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $f\left(\ell\right)$ par continuité de $f;$ donc :
$f\left(\ell\right)=\ell.$
Supposons que $u$ ne converge pas vers $\ell.$ Alors il existe $\epsilon>0$ telle que :
$$
\forall N\in\mathbb{N},\ \exists n\geqslant N;\qquad\left|u_{n}-\ell\right|>\epsilon.

$$ Comme $f$ est continue en $\ell$ et vu que $f\left(\ell\right)=\ell,$ il existe $\delta>0$ tel que :
$$
\forall z\in\mathbb{C},\qquad \left|z-\ell\right|<\delta\Rightarrow\left|f\left(z\right)-\ell\right|\leqslant\epsilon.

$$ Chacun des deux ensembles :
$$
A=\left\{ n\in\mathbb{N}\mid \left|u_{n}-\ell\right|<\delta\right\}
\quad \ \text{et}\ \quad
B=\left\{ n\in\mathbb{N}\mid \left|u_{n}-\ell\right|>\epsilon\right\}

$$ étant infini, on peut construire une suite extraite $\left(u_{\psi\left(n\right)}\right)_{n\geqslant0}$ telle que
$$
\forall n\in\mathbb{N},\qquad\left\{ \begin{array}{c}
\left|u_{\psi\left(2n\right)}-\ell\right|<\delta\\
\left|u_{\psi\left(2n+1\right)}-\ell\right|>\epsilon
\end{array}\right.

$$ Pour tout $n\in\mathbb{N},$ posons :
$$
\sigma(n)=\max\left\{ k\in[\![\psi(2n)\, ; \psi(2n+1)]\!] \mid\ |u_{k}-\ell|<\delta\right\}.
$$ Alors :
$$
\forall n\in\mathbb{N},\qquad \delta\leqslant\left|u_{1+\sigma\left(n\right)}-\ell\right|\leqslant\epsilon.

$$ Comme la couronne $K=\left\{ z\in\mathbb{C}\mid\delta\leqslant\left|z-\ell\right|\leqslant\epsilon\right\} $ est compacte, on peut extraire de la suite $\left(u_{1+\sigma\left(n\right)}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ une sous-suite $\left(u_{\alpha\left(n\right)}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ qui converge vers un nombre complexe $\lambda\in K,$ d'où en particulier $\lambda\neq\ell.$
Contradiction.

Ok. Admettons que $f(a_1)=a_2$ et que $a_1$ soit va de $v$ (par exemple). Alors $a_2$ est va de $w$. Mais qu'est-ce qui interdit à $v$ d'avoir aussi pour valeur d'adhérence $a_2$ ?

Merci ! C'est plus clair avec le lemme.

Non : en fait $f(u_{\phi(n)})=u_{\phi(n)+1}\rightarrow f(l)$ donc $f(l)$ est une valeur d'adhérence de $u$. Mais comme $u$ a une unique valeur d'adhérence, alors $f(l)=l$, d'où la conclusion.