Principe du maximum
Réponses
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Une remarque pour commencer, l'énoncé du théorème 1.4.3 est tout simplement horrible, je trouve ça fou d'écrire un bouquin de maths et de ne pas savoir manipuler les notations ensemblistes de base. Tel qu'écrit, l'ensemble $\Omega$ de l'énoncé désigne le cercle de centre $0$ et de rayon $r$, privé de $-r$ !
Revenons à ta question, en majorant brutalement $\mathfrak{Re}\left(ib \zeta \frac{e^{-i\alpha/2}}{\sin \alpha/2}\right)$ par son module $\frac{b|\zeta|}{\sin \alpha/2}$, on trouve $$|G_1(\zeta)| \leq C \left(\frac{1+|\zeta|}{|\zeta+i|}\right)^m e^{b|\zeta|\left(1+\frac{1}{\sin \alpha/2}\right)}.$$
Si on reste loin de $-i$, c'est évidemment une majoration de type Phragmen-Lindelöf pour n'importe quel $\beta > 1$, mais pas sûr de voir comment régler le problème en $-i$. -
Par hypothèse l'argument reste entre $0$ et $\pi$, donc le problème en $-i$ n'en est pas un (si j'ai bien compris)
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Ah oui on est entre $0$ et $\pi$, je pensais bêtement que c'était entre $-\pi$ et $\pi$.
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bonjour, il me semble que l'ensemble $\Omega = \{ \zeta = re^{i\theta} ;\; | \theta| < \frac{\pi}{2\alpha} ; \; \alpha > 1/2\}$ est un secteur angulaire.:-)A demon wind propelled me east of the sun
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Il faut l'interpréter comme ça, mais c'est une horreur notationnelle, puisque $\alpha$ est fixé indépendamment de cet ensemble, et $r$ ne l'est pas.
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Il y a plusieurs (évidemment) références possibles pour Phragmen Lindelöf: Conway: Functions of One Complex Variable (Springer) traite l'énoncé 1.4.3 exactement; Rudin me paraît encore une fois la référence la plus propre, Titchmarsh : Theory of Functions (Oxford) reste une excellente référence mais Lang: Complex Analysis recopie Rudin en sabotant la preuve...A demon wind propelled me east of the sun
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Merci à tous.
@Poirot, Le problème que j'ai est le $\Omega=\{\xi=re^{i\theta}\mid 0<\theta<\pi\}$, alors que le $\Omega_\alpha = \{ \zeta = re^{i\theta} \mid | \theta| < \frac{\pi}{2\alpha} ,\ \alpha > 1/2\}$ donc si on veut se ramener aux hypothèses du théorème, je crois qu'on doit écrire ceci
$\Omega_\alpha = \{ \zeta = re^{i(\theta+\frac{\pi}{2\alpha}) } \mid 0< \theta+\frac{\pi}{2\alpha} < \frac{\pi}{\alpha} \}= \{\zeta = re^{i\theta' } \mid 0< \theta'< \frac{\pi}{\alpha} =\alpha'\}$ maintenant on peut utiliser ton estimation car dans ce cas $1<\alpha'$ (rappelons que $0<\alpha<\pi$). -
Bonjour
Quelle est l'ouvrage dont est proposé cet extrait?
Merci,
Cordialement
Anna E. -
Bonjour le nom du livre, incertitude principale on Heisenberg group, je vais le poser ici.
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@ Merci!
Le titre complet est:
An Introduction to the Uncertainty Principle: Hardy’s Theorem on Lie Groups
Sundaram Thangavelu (auth.)
En beref, basé sur des travaux et conférences des années 1932 avec des références notamment concernant :
[..]
The Heisenberg inequality is the prototype
of a "quantitative uncertainty principle," in which precise lower bounds are given for
certain measures of the dispersion of f and f, whereas Hardy's result is one of the
best "qualitative uncertainty principles." [..]
Niveau avancé, Je dirais que cela ne constitue pas l'approche la plus répamdue concernant le principedu Maximum....
Merci pour cette note et bon courage à tous les lecteurs!
Au moins un niveau M2 requis.... ( mon humble avis ) quoique l'ouvrage requiert une vue globale de physique mathématique très large!
Cordialement
Anna!
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Bonjour!
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