Une jolie intégrale
dans Analyse
Bonjour à tous. L'égalité $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{(\mathrm{e}^x-x)^2+\pi^2}=\frac 1{1+\Omega},\ $ avec $\Omega\mathrm{e}^\Omega=1,\ $ semble être connue sous le nom de formule de Victor Adamchik. Il en existe une démonstration par intégration complexe sur MSE. En connaissez-vous une qui fasse appel à des ingrédients plus simples ? Merci !
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Réponses
Une autre intégrale du même type dont il ne semble pas, à ce jour, exister de calcul par des méthodes réelles.
et Fubini
On aurait envie de séparer l'intégrale en une somme de deux intégrales et d'appliquer le changement de variable $y=\text{e}^x-x$. (il faudrait récupérer la fonction de Lambert au passage)
Il y a peut-être quelqu'un qui peut nous renseigner sur la difficulté de la question: Olivier Oloa. Il a déjà travaillé sur des intégrales avec des $\pi^2$ au dénominateur si je me souviens bien. B-)-
Ça me rappelle un problème que j'avais posé aux étudiants lorsque j'assurais une préparation d'été au concours HEC d'admission directe pour diplômés. Ce n'était pas une intégrale mais une série.
Pour $n\in \mathbb{N}^{\ast }$, on définit $x_n$ réel par : $\tan x_{n}=x_{n}$, $n\pi -\frac{\pi }{2}<x_{n}<n\pi +\frac{\pi }{2}$. Démontrer : $\displaystyle \overset{+\infty }{\underset{n=1}{\sum }}\frac{1}{x_{n}^{2}}=\frac{1}{10}$.
C'est bien plus simple que le problème posé dans ce fil, et il est possible qu'il y ait une solution avec les moyens élémentaires (je l'ignore), mais il se fait très bien par les résidus, et ici les pôles sont évidents.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Chaurien: Si une solution "élémentaire" existe elle sera probablement astucieuse. Il faudrait sans doute commencer par trouver une expression de cette intégrale avec des bornes finies. Ce qui n'est déjà pas une mince affaire me semble-t-il.
$\displaystyle \int_0^1 \bigg(\frac{1}{x\big(\pi^2+(x-\ln x)^2\big)}+\frac{x}{\pi^2x^2+(1+x\ln x)^2}\bigg)dx$.
Les premiers sont les mieux servis
Or, d'après le lien de AoPS que j'ai posté plus haut : $\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{x_k^2} = \dfrac{1}{10}$ et $\displaystyle \sum_{1\leqslant k_1<k_2} \dfrac{1}{x_{k_1}x_{k_2}} = \dfrac{1}{280}$. D'où $\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{x_k^4} = \dfrac{1}{10^2} - \dfrac{2}{280} = \dfrac{1}{350}$.
De même, en élevant au cube, à la puissance 4, etc. on doit pouvoir calculer $\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{x_k^{2j}}$ pour tout $j\geqslant 1$.
J'avais fabriqué un énoncé qui définit l'intégrale $J_n,\ n \in \mathbb N^* $, de $f(z)=\dfrac{\cos z}{\sin z - z \cos z}$ sur le cercle $\Gamma_n$ de centre $0$ et de rayon $n \pi$. Il faut prouver que l'équation $\tan z=z$ dans $\mathbb C$ n'a pas de solutions non réelles, ce qui implique que les pôles de la fonction $f$ sont $0$ et les $\pm x_n$. La limite de $J_n$ quand $n \rightarrow + \infty$ donne la somme de la série de terme général $\dfrac 1{x_n^2}$.
Cette méthode s'adapte pour répondre à la question de Gebrane, et même avec des sommes de puissances paires plus grandes.
Mais peut-être y a-t-il des solutions qui utilisent d'autres méthodes.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Désolé j'ai été grillé. Alors je te laisse prouver mon égalité.
@bd qu'on me grille aussi
@Chaurien, si tu veux t'investir en analyse fonctionnelle, voici une autre méthode qui fait le lien entre tes $x_n$ et les valeurs propres d'un certain opérateur https://www.math.ucdavis.edu/~saito/publications/saito_rayleighfunc.pdf ou bien voir la reponse de Jean Marie dans https://math.stackexchange.com/questions/75206/sum-of-the-squares-of-the-reciprocals-of-the-fixed-points-of-the-tangent-functio
Rappelons que les $x_n$ sont définis, pour $n \in \mathbb N^*$, par : $\tan x_n=x_n$, $n \pi <x_n < n \pi + \frac {\pi}2$.
Cette question était adressée à Gebrane, mais celui-ci semble avoir pris des vacances, alors je m'y colle.
Le résidu en un pôle simple $\alpha \neq 0$ est, sans surprise : $\textrm{Res}(f,\alpha)= \frac 1{\alpha^4 \cos \alpha}$.
Si l'on définit toujours le cercle $ \Gamma _{n}=\{z~|~\left\vert z\right\vert =n\pi \}$, pour $n \in \mathbb N^*$, alors : $\displaystyle \frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma _{n}}f(z)dz=\textrm{Res}(f,0)+2 \underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }} \textrm{Res}(f,x_k )$.
J'ai fait observer par ailleurs que pour $|z| = n \pi$ on a : $|\cos z| \ge 1$ et $|\tan z| < 2$.
On en déduit : $\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} \int_{\Gamma _{n}}f(z)dz=0$. La formule proposée en découle.
Bonne journée.
Fr. Ch.
16/07/2021
@Chaurien J'ai un peu oublié mais il me semble que j'avais trouvé la formule 2 façons, une avec les résidus et une avec les valeurs propres de l'opérateur laplacien.
Une question que je me pose : la somme de la série $\sum \dfrac{(-1)^n}{x_n}$ est-elle calculable avec une de ces 2 méthodes. A priori cela me semble difficile...