Majoration valeur d'une fonction holomorphe

Bonsoir W314,

0 étant dans le cercle unité, l'inégalité de ton énoncé s'applique pour $z =0$. Comment peux-tu en déduire une majoration de $|f(0)|$ ?
Essaie, par un raisonnement analogue, d'en déduire une minoration.

EDIT : J'ai mal lu, j'ai confondu le cercle et le disque, mes excuses !

Plutôt l’inégalité triangulaire renversée j'ai lu le disque unité

Je n'arrive pas à avoir $6$ en majorant, mais développons l'idée de MrJ en utilisant le lemme suivant (Démonstration : ce livre, exercice 8 page 72).

Soit $P \in \mathbb{C}[X]$ un polynôme unitaire et $U$ un ouvert connexe contenant le disque fermé $\left\{|z| \leqslant 1\right\}$. Soit $f$ holomorphe sur $U$ et on suppose que $g = f/P$ est holomorphe dans un ouvert contenant $\left\{|z| \leqslant 1\right\}$. Alors
$$|g(0)| \leqslant \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \left| f(e^{it}) \right| \, \textrm{d}t.

$$ Appliqué ici à la fonction $g$ de MrJ qui satisfait les conditions, il vient
$$\left| f(0) + 4 \right| \leqslant \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} \left| f(e^{it}) + 4 \right| \, \textrm{d}t.
$$ En utilisant la condition imposée sur les valeurs de $f$ sur le cercle unité, on obtient
$$\left| f(0) + 4 \right| \leqslant \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} \left| e^{2it} + 2 \right| \, \textrm{d}t.
$$ Ensuite, plutôt que de prendre WolframAlpha, on peut utiliser Cauchy-Schwarz, car l'intégrale du carré du module se calcule bien :
$$\left| f(0) + 4 \right| \leqslant \sqrt{\frac{2}{\pi}} \left( \int_0^{2 \pi} \left| e^{2it} + 2 \right|^2 \, \textrm{d}t \right)^{1/2} = 2 \sqrt 5.$$

L'indication est MrJ est donc la bonne... La fonction $\displaystyle g :z \mapsto \frac{f(z)+4}{z^2+2}$ est holomorphe sur un voisinage du disque unité.
La formule de Cauchy donne alors $\displaystyle g(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}g(e^{i\theta})d\theta$ et on conclut par l'inégalité triangulaire.