Proportionnalité
Bonjour
J'aurais aimé savoir si une démonstration de la propriété suivante existait car je ne vois pas vraiment comment la démontrer.
Toute situation de proportionnalité se représente graphiquement par des points alignés avec l'origine du repère.
Et réciproquement, tout graphique dont les points sont alignés avec l'origine du repère, représente une situation de proportionnalité.
Faut-il faire le lien avec les fonctions linéaires ?
A.maths
J'aurais aimé savoir si une démonstration de la propriété suivante existait car je ne vois pas vraiment comment la démontrer.
Toute situation de proportionnalité se représente graphiquement par des points alignés avec l'origine du repère.
Et réciproquement, tout graphique dont les points sont alignés avec l'origine du repère, représente une situation de proportionnalité.
Faut-il faire le lien avec les fonctions linéaires ?
A.maths
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Réponses
Sens direct ,
Le sin(2x) est proportionnelle à sin(x) cos(x)
Dans une matrice, tu peux avoir deux lignes proportionnelles
Réciproque,
dans un papier logarithmique ,ou semi tu peux voir un graphe avec des points alignés sans qu'il y a une proportionnalité
Tu abuses un petit peu ;-)
Quand on parle de repère, ce n’est pas avec un « papier logarithmique ».
Ce qui n’est pas clair selon moi c’est l’appellation « situation de proportionnalité ».
Mais en effet, une fois clarifié, c’est avec les fonctions linéaires que l’on travaille.
Comment justifier d’ailleurs cet alignement ?
Un coup de Thalès, je dirais. Pas besoin d’euclidien dans cette histoire.
Et réciproquement, tout graphique dont les points sont alignés avec l'origine du repère, représente une situation de proportionnalité
Calli que j’apprécie beaucoup n’est pas notre maître ;-)
Disons seulement que vite fait, c’est vrai et que dans le détail il faudrait un énoncé mathématique.
Prenons d'abord deux grandeurs X et Y proportionnelles (i.e. il existe une coefficient q tel que Y= q X) et montrons que la représentation graphique de cette relation est une droite qui passe par l'origine (et qui ne peut re l'axe des ordonnées).
Dans tout repère $ (0, \vec i, \vec j)$ la représentation du graphe est l'ensemble des points $(x,y)$ tels que $y=qx$, donc des points $(x,qx)$ quand $x$ parcourt l'ensemble des nombres réels.
Naturellement, $O(0,0)$ et le point A de coordonées $(1,q)$ sont sur cette courbe (et donc la courbe n'est pas l'axe des ordonnées).
On prend $M(x,y)$ sur la courbe, et on montre qu'il est aligné avec O et A.
Ses coordonnées sont $(x, qx)$ ce qui se traduit par :
\[ \vec{OM}= x \vec i + qx \vec j = x ( \vec i + q \vec j ) = x \vec{OA} \]
On conclut que $ \vec{OM}$ est colinéaire à $ \vec{OA}$ ce qui suffit pour conclure que O, A et M sont alignés. Donc, dans tout repère, la représentation de la relation de proportionnalité est une droite.
Réciproquement: si la représentation d'une relation est une droite distincte de l'axe des ordonnées qui passe par l'origine dans un repère quelconque, alors tous les points sont alignés, donc on prend le point $A$ de la droite d'abscisse $1$ (il existe bien), on appelle $q $ son ordonnée. On va montrer que pour tout couple $(x,y)$ vérifiant la relation, on a bien $y=kq$.
Le point M de coordonnées $(x,y)$ est aligné avec $O$ et $A$, donc il existe un coefficient de colinéarité $k$ tel que
\[ \vec{OM}=k \vec{OA} \]
Par identification des coordonnées des deux vecteurs : $x = k$ et $y=kq$.
Finalement: $y=qx$.
Conclusion: Une relation dont la représentation dans un repère est une droite sécante à l'axe des ordonnées en l'origine est une relation de proportionnalité. Réciproquement, la représentation graphique d'une relation de proportionnalité est une droite sécante à l'axe des ordonnées en l'origine.
Ceci dit, j'ai utilisé les vecteurs, mais on peut très bien modéliser une relation de proportionnalité par une fonction linéaire, et on démontre alors la même équivalence mais en ayant recours à d'autres outils, comme par exemple le théorème de Thalès. Mais sans vecteurs, c'est plus fastidieux, par exemple on définit l'abscisse de M comme la longueur du côté opposé à M dans le triangle OMP où P est l'intersection entre l'axe des abscisses et la parallèle à l'axe des ordonnées passant par M.
Pour ce qui me concerne, si on utilise une échelle logarithmique, ce n'est pas dans un repère comme on le définit au collège où on énonce cette propriété.
Merci à vous 3 pour vos réponses !
Je parlais en effet de la propriété vu au collège.
a.maths