Problème de Cauchy

naima12 · April 2021

Bonjour
On considère le problème
$$
\begin{cases}
\dfrac{\partial u}{\partial t}+c(x,t)\dfrac{\partial u}{\partial x}=0,& (x,t)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}_+\\
u(x,0)=u_0(x),& x\in\mathbb{R},
\end{cases}
$$ où $c\in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}\times\mathbb{R}_+,\mathbb{R})$ et lipschitizienne sur $\mathbb{R}\times\mathbb{R}_+,\ u_0\in \mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})$ donnés.
Pour tout $(x_0,t_0)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}_+$, on considère le problème
$$
\begin{cases}
\frac{d X}{d t}=c(X(t),t)\\
X(t_0)=x_0,& x\in\mathbb{R}.
\end{cases}
$$ D'après le Théorème de Cauchy-Lipschitz global ce problème admet une unique solution qu'on notera par $X(t,x_0,t_0)$.

Pouvez-vous s'il vous plaît m'aider à démontrer que $X(t_2,x_0,t_0)=X\big(t_2,X(t_1,x_0,t_0),t_1\big)$.

Je sais qu'on dois utiliser l'unicité de la solution mais je ne vois pas comment.
Merci d'avance.

john_john · April 2021

Bonjour, Naima,
si l'on désigne par $X_0$ la solution $X(\cdot,x_0,t_0)$ , elle prend au point $t_1$ la valeur $X_0(t_1)=X(t_1,x_0,t_0)$ et elle coïncide donc en ce point avec la solution $X_1=X(\cdot, X_0(t_1),t_1)$ et l'on conclut, vu l'unicité, que $X_0=X_1$, puis que $X_0(t_2)=X_1(t_2)$, pourvu que les trois $t_\ell$ soient bien dans le domaine de définition de $X_0$.

naima12 · April 2021

Merci. On suppose que le premier problème admet une unique solution $u\in C^1(\mathbb{R}\times \mathbb{R}_+,\mathbb{R})$. En posant $v(x,t)=u(X(t,x,0),t)$, on a $\frac{\partial v}{\partial t}=0$. Comment utiliser ce résultat pour montrer que $$u(x,t)=u_0(X(0,x,t)),\quad\quad \forall (x,t)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}_+.

$$ Merci.

naima12 · April 2021

Voila ce que j'ai essayé de faire

comme $\frac{\partial v}{\partial t}=0$, on a $v(x,t)=v(x,0)=u(X(0,x,0),0)=u(x,0)=u_0(x)$ pour tout $t\ge 0$ et tout $x\in\mathbb{R}$.

Ainsi
$v(x,t)=u(X(0,x,0),0)=u_0(x)$ pour tout $t\ge 0$ et tout $x\in\mathbb{R}$.

Je n'arrive pas à conclure en utilisant cette égalité. J'ai essayé comme suit:

$v(X(0,x,t),t)=u(X(0,X(0,x,t),0),t)=u_0(X(0,x,t))$ mais je ne vois pas pourquoi $X(0,X(0,x,t),0)=x$.

Merci de m'aider