La somme $\sum_{n=1}^{\infty}e^{-\pi p_{n}}$

Quentino37 · April 2021

Bonjour !
La valeur de la somme suivante est-elle connue ?
\[\sum_{n=1}^{\infty}e^{-\pi p_{n}},
\] avec $p_{n}$ le $n^{ème}$ nombre premier.
Merci d'avance !

Quentino37 · April 2021

ou plus précisément $\quad\displaystyle
\sum_{n=1}^{\infty}s^{-p_{n}},\
$ pour tout $s$ appartenant à $\C$.

gebrane · April 2021

Pourquoi à 13 ans t’intéresses-tu à $\hat{\theta}(\pi)$ ?

Quentino37 · April 2021

Parce que j'adore les maths et encore plus les sommes infinies
Quelle est la fonction $\hat{\theta}(x)$ ?

gebrane · April 2021

$$\hat{\theta}(x)=\sum_{p\text{ prime}}e^{-p x}$$

Quentino37 · April 2021

Merci beaucoup gebrane!
et... le nom de la fonction? et que sait-on sur cette fonction?

gebrane · April 2021

Quentino37
Tu aimes les sommes infinies
Sais-tu comment prouver que edit $\sum_{n=1}^{\infty} \frac 1{n^2}=\frac{\pi^2}6
$ ?
Une chose que je ne sais pas faire , c'est de calculer edit $\sum_{n=1}^{\infty} \frac 1{n^3}$ à l'aide des constantes connues $\pi, ...$
peux-tu m'aider ?

Quentino37 · April 2021

je sais comment prouver que la somme des inverses des carré des entiers strictement positif est égale pi²/6 grâce à la fonction sin(x)/x
pour zeta de 3, il me semble qu'il est conjecturé que zeta de 3 et pi sont algébriquement indépendant sur Q
je ne peux donc pas t'aider sur cette somme

gebrane · April 2021

Ah! tu connais des choses, en voulant te tester, tu as coupé l'herbe sous mes pieds.

Quentino37 · April 2021

Sinon la somme des inverse des puissances nème c'est de 1 à infini et pas de 0 à infini car sinon ça n'a pas de sens

noix de totos · April 2021

Gebrane : j'espère que ta somme $\zeta(2)$ ne démarre pas à $n=0$...8-)

Quentino : ta somme ne doit pas être loin de $\textrm{li}(2) \times e^{-2 \pi} \approx 0,00195$. Quant à ta seconde somme, il faudrait préciser quelle détermination du logarithme complexe tu utilises.

Quentino37 · April 2021

Merci noix de totos !
Pour la seconde somme je ne vois pas le rapport avec les logarithmes complexes. On n'utilise pas de puissance complexe !
Ou peut-être pour passer de ma seconde somme à la fonction gebrane ?

Dreamer · April 2021

Bonjour.

Quentino, quand tu dis que s appartient à C, tu utilises les nombres complexes.

En prenant le logarithme de chacun des termes, cela conduit à utiliser le logarithme complexe.

À bientôt.

noix de totos · April 2021

$s^{-p_n} = e^{-p_n \log s}$.

$s$ étant un complexe selon tes notations, le logarithme, ou plutôt l'une de ses déterminations, apparaît naturellement ici.

gerard0 · April 2021

Heu ... pas besoin de logarithme pour définir $s^{-p_n}$, puisque $p_n$ est un entier : $s^{-3}=\frac 1{s\times s\times s}$. Par contre, il faut que $s$ soit non nul, donc ce n'est pas "pour tout $s$ appartenant à $\C$".

Cordialement.

Namiswan · April 2021

$p_n$ étant entier, n'a t-on pas simplement $\displaystyle s^{-p_n}=\frac{1}{s}\times\cdots \times\frac{1}{s}$ ?

edit: grr, doublé d'une seconde

gerard0 · April 2021

Pur hasard !

noix de totos · April 2021

Dans ce cas particulier, oui.

Quentino37 · April 2021

gerard0 : la fonction est définie pour tout s appartenant à C tel que |s|>1 ?

Quentino37 · April 2021

gebrane, elle s'appelle comment du coup la fonction thêta?

OShine · April 2021

C'est peut être le nouveau Ramanujan.

noobey · April 2021

Le vrai ou celui de la célébrité d'un site de maths voisin? :-D

Quentino37 · April 2021

qui est peut être le nouveau Srinivasa Ramanujan?

PS: Je crois qu'il y à une erreur dans l'onglet mathématicien, dans la page sur Ramanujan (ici), il est écrit Srivanasa Ramanujan au lieux de Srinivasa Ramanujan (l'erreur est faite deux fois)