Sujets écrits ENS X 2021

Bisam je pensais qu'un prof de prépa finissait un sujet de l'X maths A maths B 4 heures pile.

Les anciens sujets de l'X étaient beaucoup plus cours, je remarque qu'ils sont devenus interminables. Ils ont été contaminé par Centrale.

Bonjour,

Il n'a toujours pas compris la différence entre un examen et un concours.
On s'en fout qu'un sujet de concours soit interminable.

Cordialement,

Rescassol

D'accord avec Guego.

C'est comme les sujets d'agreg interne. Même un prof de fac ne peut pas finir la moitié en 6 heure. Quel intérêt ?

Les seuls sujets qui sont finissables sont les sujets CCPINP et E3A.
Mines ça dépend desquels.
Le sujet Mines 1 2029 MP dure 3 heures et est interminable. En plus il est dur.

Le sujet d'agreg interne 2021 d'algèbre maths 1 comporte 65 questions, j'ai compté. Franchement ils sont inconscients les auteurs de sujet. En plus, il y a très peu de questions simples.

Pourquoi pas 100 questions pendant qu'on y est ?

@etanche

Ecrire "on définit la probabilité " au lieu de "on définit la mesure de probabilité " n'enlevait rien au sujet.

Certes la norme subordonnée est définie, mais de là à en faire un élément essentiel de tout le devoir, alors que c'est clairement hors programme , cela me semble abusif.
Les mathématiques valorisent l 'honnêteté et cette hypocrisie me gêne.

Cordialement

PS / Les dépassements de programmes étaient la règle en Lycée dans les années 70 , on sait où cela nous a conduit...

J'ai écrit au programme entre guillemets..Je me demande quel est le nombre de candidats qui ont eu la clairvoyance d'inventer et de prouver cette formule le jour de l'épreuve... Et la question est très tôt dans le sujet.

On ne sait jamais...
Et comme c'est un concours, qu'il y ait 3 parties ou 5 ou 10, c'est tout comme.

@Guego : d'accord avec toi sur la longueur. Ca n'a aucun intérêt de faire interminable. Suivant le type de notation du concours, ça peut même être assez pervers.

Pour un concours connu qui note 10 points par question, à la limite, c'est moins regrettable. Pour d'autres concours qui notent les questions par item avec un éventuel coefficient, les réunions de barème peuvent souvent se terminer en se disant qu'on n'aura plus personne sur les questions de la fin et donc à faire un barème plus allégé sur la fin. Un candidat qui traiterait les dernières parties serait alors fortement désavantagé. Heureusement, certains concours ont clarifié cela et ont particulièrement insisté sur le fait que (au moins) la première partie était fortement chargé en points et qu'il était très fortement recommandé de la traiter.

Pour la correction, c'est aussi ultra pénible. Barème sur parfois 500 alors que le candidat qui se verra finalement noté à 20/20 aura récolté peut être au mieux 300 points.
Ca fausse, ça n'a aucun intérêt, c'est pénible à corriger avec des feuilles Excel à 50 items, c'est pénible pour les candidats qui dépriment de n'avoir fait que 1/3 alors que ca suffira pour être admissible.

Ces défauts sont partout. Le pire, c'est les sujets des filières d'écoles de commerce où il y a 4 exos sur 4 thèmes différents et où on peut finalement arriver à avoir 20 en ayant fait l'impasse sur un exo qui correspond à une énorme partie du programme.

Autre effet pervers qui me vient en tête, les bons candidats qui veulent arriver au bout du sujet (à peu près faisable pour certains concours) et qui vont massacrer ou au moins balancer les questions de départ et perdrent un nombre incroyable de points prévus au barème. Cela encourage aussi le fait de rendre des copies absolument indignes... Il y a désormais un vrai problème avec des copies absolument dégueulasses, de véritables torchons qui ne sont même pas à la hauteur de brouillon. Des candidats voulant à tout prix faire un maximum de questions doivent être bien déçus lorsqu'ils récupèrent les notes ce qui explique sans doute le nombre exponentiel de vérification des notes demandées. Au lieu de vouloir tout faire pour tout massacrer et rendre un torchon et finir à 4/20, ces candidats auraient sans doute eu bien plus en ne traitant que la moitié de ce qu'ils ont abordé mais en le faisant bien.

Zorn 1 la démonstration de la formule du crible est dans mon livre tout en un de MPSI.

Etanche ça dépend du sujet mais la plupart du temps, c'est impossible de faire plus de la moitié.

Mais celui de cette année c'est impossible qu'un candidat fasse plus de la moitié, surtout avec une partie 2 aussi difficile (démonstration du théorème de Burnside). Même Philippe Caldero qui prépare les élèves au concours à dit : "la partie 2 est infaisable pour les candidats d'aujourd'hui".
Il dit que le sujet pousse au grappillage car par la suite, il y a quelques questions plus simples.

Je trouve que faire un sujet plus court ça permet de moins s'éparpiller et ça force à entrer dans le sujet en essayant de ne pas sauter trop de questions.

Je ne vois pas trop le rapport entre la 3.b et la formule du crible. Il n'y a pas d'union d'évènement et en plus on a du $P(X \geq \cdots)$

zorn1 a écrit:

La question I 3b) ( X Math B.2021) est une peau de banane dès le début du sujet.

J'ai eu du mal à le rédiger, mais on peut s'en sortir pour la question 3.b sans connaître la formule du crible.
Il suffit d'écrire une grosse récurrence.

J'ai pour ma part finalement défini pour tout $r\in\N^*$, \
[\begin{split}
H_r \quad = \quad &\forall A\in\mathcal{A}, \quad \forall (n_1,\dots,n_r)\in\N^r, \quad \forall (k_1,\dots,k_r)\in\N^r, \quad 0<k_1<\cdots <k_r \Rightarrow \\
& \quad \mathbb{P}\Big(A\cap \bigcap_{i=1}^r (\nu_{p_{k_i}}(X)=n_i)\Big)=\sum_{\ell=0}^r(-1)^{\ell} \sum_{\stackrel{(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_r)\in\{0,1\}^r}{\varepsilon_1+\cdots+\varepsilon_r=\ell}}\mathbb{P}\Big(A\cap \bigcap_{i=1}^r (\nu_{p_{k_i}}(X)\geq n_i+\varepsilon_i)\Big)
\end{split}

\] On peut bien sûr commencer à $r=0$ si l'on veut puisque dans ce cas $H_0$ est "vacuously true" (:P)

Ceci étant, il est vrai que c'est franchement dur pour la 6ème question du sujet !
Deux questions plus loin, la question 4.a) a dû achever ceux qui tentaient vaillamment de poursuivre la partie I. C'est dommage car cette partie devient vraiment plus intéressante à partir de la question 6.

Note : une petite coquille s'est glissée dans la question 5, sans que cela porte préjudice.

J'ai également corrigé le sujet MP Math A ce matin.
Il m'a seulement fallu 5h, c'est quand même bien plus raisonnable que Math B (pour lequel il m'a fallu presque 8h en tout).
Il y a des bons gros morceaux d'algèbre générale (des calculs de déterminant de matrices à coefficients dans un anneau commutatif quelconque, des morphismes d'anneaux, de groupes, des idéaux, la démonstration du théorème de Lagrange, un peu de polynômes...), un peu d'arithmétique (lemme de Gauss, petit théorème de Fermat), quelques notions de diagonalisabilité disséminées un peu partout dans le sujet, et une petite étude de fonctions bien cachée.
Très sympa, et les résultats démontrés sont non triviaux.

Note : Là encore, une petite coquille à la question 4.(a) de la partie 3 mais qui n'a pas dû gêner beaucoup.

@bisam : la récurrence s'écrit effectivement mais péniblement. Les indices, même à la main, sont pénibles à écrire avec les 4 étages. C'est quand même hyper moche à écrire !

Quelque chose me dit qu'Aléa (s'il passe par là) ne procéderait pas ainsi pour montrer l'indépendance des $\nu_k$ !

En fait, c'est 2) $\Rightarrow$ 1) qui est évidente... et l'autre qui ne l'est pas !

Quelque chose me dit qu'Aléa (s'il passe par là) ne procéderait pas ainsi pour montrer l'indépendance des $\nu_k$ !

Le fond de l'affaire, c'est "connait-on la loi d'un vecteur, quand on connaît sa fonction de queue généralisée" ? Et oui !

Si on connaît un peu de théorie de la mesure, la réponse est immédiate, car les ensemble de la forme
$\prod_{k=1}^r [a_k,+\infty[$ (ou $\prod_{k=1}^r ]a_k,+\infty[$) forment un $\pi$-système qui engendre la tribu borélienne de dimension $r$.
C'est ce que j'avais dans l'idée pour l'exercice 115 de Garet-Kurtzmann, qu'on a laissé en exercice non corrigé, avec une indication.

Si on n'a pas ça, la méthode préconisée me semble le plus simple.
La formule absconse qui en sort a l'avantage qu'elle permet, pour les vecteurs aléatoires discrets, de récupérer la convergence en loi à partir de la convergence des fonction de queue généralisées.
Voir le joli exercice suivant, extrait de GK2, qui est une version améliorée du raisonnement proposé dans Quadrature:

Ceci dit, au niveau Bac+2, cette question me semble assez difficile. Je serais fort curieux de savoir quelle proportion des copies a su la traiter.

C'est un peu d'ailleurs le point faible, je trouve, des sujets posés aux élèves de CPGE. Il y a une volonté depuis toujours de présenter des résultats de haut niveau à un niveau élémentaire, ce qui conduit parfois à faire des preuves où les astuces techniques suppléent au manque d'outils plus élaborés. Si on veut garder des résultats originaux, je pense qu'il faut apprendre à accepter de proposer des énoncés qui admettent certains points.

...mauvaise foi...

[small]Il était une fois
Une marchande de foie
Qui vendait du foie
Dans la ville de Foix
Elle se dit : ma foi,
C'est la dernière fois
Que je vends du foie
Dans la ville de Foix[/small]

https://www.teteamodeler.com/vip2/nouveaux/expression/fiche227.asp

Bisam en effet, j'ai écrit n'importe quoi. Je rectifie. Voici une rédaction propre. Tu mettras tous ls points ?

Montrons que les propriétés $1$ et $2$ sont équivalentes.
1) $\forall i \in [|1,k|] \ \ p_i ^{\alpha_i} \mid n$
2) $\displaystyle\prod_{i=1}^k p_i ^{\alpha_i} \mid n$

On a $2) \implies 1)$ trivial.

Montrons $1) \implies 2)$ par récurrence sur $k$.
Le cas $k=1$ est évident.

Notons $P(k)$ : Si $\forall i \in [|1,k|] \ \ p_i ^{\alpha_i} \mid n$ alors $\displaystyle\prod_{i=1}^k p_i ^{\alpha_i} \mid n$.

Supposons $P(k)$ vraie. Supposons que $\forall i \in [|1,k+1|] \ \ p_i ^{\alpha_i} \mid n$

Comme $P(k)$ est vraie, $\exists q \in \N \ \ n= \displaystyle\prod_{i=1}^k p_i ^{\alpha_i} \ \times q$

Mais on a aussi l'existence d'un entier $q' \in \N$ tel que $n=p_{k+1}^{\alpha_{k+1}} \times q'$

Donc on a l'égalité $\displaystyle\prod_{i=1}^k p_i ^{\alpha_i} \ \times q = p_{k+1}^{\alpha_{k+1}} \times q'$

On en tire que $ p_{k+1}^{\alpha_{k+1}} \mid \left( \displaystyle\prod_{i=1}^k p_i ^{\alpha_i} \ \times q \right)$ mais $ p_{k+1}^{\alpha_{k+1}}$ est premier avec $\displaystyle\prod_{i=1}^k p_i ^{\alpha_i}$ donc d'après le lemme de Gauss, $ p_{k+1}^{\alpha_{k+1}} \mid q $.

Ainsi, il existe $q'' \in \N$ tel que $q= q'' \times p_{k+1}^{\alpha_{k+1}} $

Finalement, $n= \displaystyle\prod_{i=1}^k p_i ^{\alpha_i} \ \times p_{k+1}^{\alpha_{k+1}} \times q''$

Soit $n=\displaystyle\prod_{i=1}^{k+1} p_i ^{\alpha_i} \times q ''$

Donc $\displaystyle\prod_{i=1}^{k+1} p_i ^{\alpha_i}$ divise $n$ et $P(k+1)$ est démontrée.

Je trouve la discussion un peu surprenante.

Le nombre de thème pour faire un sujet n’étant pas infini, il me paraît normal que des sujets sur le même thème se ressemble, même fortement. De plus, le nombre annuel d’épreuves de mathématiques pour les concours est très important.