Produit scalaire à valeurs réelles ?
Bonjour
Soient $ A$ un opérateur non borné autoadjoint sur $L^2_{per}(]0,2\pi[)$, $\lambda_0$ une valeur propre simple et $f_0$ un vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda_0$.
Je me demande si, sous ces hypothèses peut-on déduire que $\langle f_0 \mid 1 \rangle \in \R$ ?
$\langle \cdot\mid\cdot \rangle$ est définie sur $L^2_{per} \times L^2_{per}$ et est donné par: $$\langle f\mid g\rangle:= \frac {1}{2\pi} \int_0 ^{2\pi} f(x) \overline{g(x)}\ dx .
$$ Merci d'avance !
Soient $ A$ un opérateur non borné autoadjoint sur $L^2_{per}(]0,2\pi[)$, $\lambda_0$ une valeur propre simple et $f_0$ un vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda_0$.
Je me demande si, sous ces hypothèses peut-on déduire que $\langle f_0 \mid 1 \rangle \in \R$ ?
$\langle \cdot\mid\cdot \rangle$ est définie sur $L^2_{per} \times L^2_{per}$ et est donné par: $$\langle f\mid g\rangle:= \frac {1}{2\pi} \int_0 ^{2\pi} f(x) \overline{g(x)}\ dx .
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Réponses
f_0 est dans le domaine de A donc dans L^2 et aussi 1 dans L^2 donc le produit est dans L^1