Le fait que $\exp$ est strictement positive sur $[0,\infty[$ est clair.
Pour $x$ négatif, on peut itérer le fait que $\exp(x-1) = \exp(x) / e$, et $e=\exp(1)>0$.
Bof! plutôt: pour $x>0$, $\exp(-x) =1/\exp(x)>0$.
Si on trouvait une équation fonctionnelle pour la fonction d'etanche, ça pourrait aider. J'ai pas mal essayé, sans trop de succès.
Ton indice, gebrane, n'est pas forcément hyper utile, vu que tu as a l'air d'indiquer une preuve mal connue (en tous cas peu connue de moi) de $e^x>0$ à partir de la série de Taylor...
Du coup, i.zitoussi cherche une équation fonctionnelle facile pour cette autre série, mais si elle était si facile, on nous l'aurait dite en terminale, probablement, non ?
Je pense que tu devrais détailler un peu ton indice, gebrane !
Vraiment si quelqu'un trouve avec ces moyens personnels
alors bravo.
C'est une question fortement déconseillée pour les amateurs, réservée pour les hautes voltiges de ce forum et je sais de quoi je parle
Pas trouvé d'équation fonctionnelle pour la fonction d'etanche, mais on a malgré tout:
$$
f(x)f(-x) = \sum_{n\geq 0}a_n\frac{x^n}{\sqrt{n!}}, \qquad \mathrm{avec} \quad
a_n = \sum_{i=0}^{n}(-1)^i\binom{n}{i}^{1/2}.$$
On déduit, $a_n>0$ pour $n$ pair, et $a_n=0$ pour $n$ impair.
Donc $f(x)f(-x)>0$ pour tout $x$, d'où le résultat, puisque pour $x>0$, $f(x)>0$.
A confirmer...
Edit: j'ai été un peu vite. Le fait que $a_n>0$ pour $n$ pair n'est pas si évident que ça... Problème intéressant.
Dans le cas où x<0 , je croyais naîvement que pour toute série alternée vérifiant le critère spécial des séries alternées, la somme S de la série était encadrée par les sommes partielles (adjacentes) de rang pair et impair.
Deux sommes partielles strictement positives , S2(x) et S3(x) par exemple, suffiraient donc à prouver que S(x)>0 dans ce cas .
Où est l'erreur ?
Est-ce vain de chercher à faire de l’analyse pour résoudre cette question ? (dérivée, dérivée seconde, équation différentielle ou que sais-je encore...)
@Dom
On peut avoir des idées , encore faut-il qu'elles aboutissent à la conclusion ...
Par exemple: vérifier que $ f(x) > 0$ pour $ -1 \leq x <0 $ ( facile) , puis essayer de montrer que $ f(x) f(\dfrac{1}{x}) >0 $ avec un produit de Cauchy .
Pas évident de toutes façons ...
Bon courage.
Bizarrement, je ne me suis pas rappelé cet exercice qui était pourtant dans ma feuille d'exercices sur les intégrales impropres jusqu'à l'an dernier... et que j'avais enlevé parce qu'il n'aboutissait à rien d'intéressant.
Pour $n\in\N$, on pose $\displaystyle v_n=\int_0^1\frac{1-t^n}{t (-\ln(t))^{3/2} } dt$. On pose également $\displaystyle f:t\mapsto\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{t^n}{\sqrt{n!}}$ et $\displaystyle G:x\mapsto\int_0^1\frac{f(x)-f(tx)}{t (-\ln(t))^{3/2}} dt$.
Montrer qu'il existe $c\in\R$ tel que $\forall n\in\N,v_n=c\sqrt{n}$.
Montrer que $f$ et $G$ sont définies sur $\R$ et que $\forall x\in\R,G(x)=cxf(x)$.
Montrer que $\displaystyle c=2\int_0^{+\infty}\frac{1-e^{-t^2}}{t^2} dt=4\int_0^{+\infty}e^{-t^2} dt$.
Si on lui rajoute une question 2)bis ainsi :
En déduire que $\forall x\in\R,f(x)>0$.
Indication : S'il existe $x\in\R$ tel que $f(x)\leq 0$, considérer $x_0=\max(\{x\in\R,f(x)=0\})$.
Désolé, Gebrane, j'ai voulu adapter avec les notations du forum... et j'ai oublié quelques $F$.
Il me semble que c'est tiré d'un exercice d'oral de Polytechnique... mais je n'ai pas retrouvé la référence.
C'est moi qui ai ajouté la question numérotée 3, et il est possible que le candidat n'ait pas eu le temps d'arriver à la question 2bis, mais qu'elle ait été prévue par l'examinateur.
Dom, oui ça permet d'avoir des privilèges et que lorsque on pose une question, les gens s' y intéressent.
Par exemple quand je pose une question ici , personne ne me dit gebrane qu'as tu essayé , qu'as tu fais ? :-D
Je n’y connais rien, ça offre quelque chose d’estimable ?
C'est bon pour l'égo. B-)-
Je vise les 10 000 points sur MathExchange. Quand je les aurais atteints je ne serais pas plus riche et je n'aurais marché sur la g... de personne. J'aime les compétitions dans lesquelles les perdants ne se retrouvent pas à dormir sous un pont.
Dom, Je te donne un privilège pour comprendre. Sur ME quand une preuve de notre cher FDP me plait alors je peux l'archiver en latex avec le privilège accès en édition, je peux copier la source Latex de son message
Il faudrait que j'archive un jour tous ces messages. Je les tapais jusqu'à encore récemment directement dans l'interface $\LaTeX$ de MathExchange qui est un peu meilleure que celle du forum, sans jamais les archiver sur mon disque dur.
Puisqu'on parle de ça, si quelqu'un a déjà sous la main un script pour archiver des messages sur MathExchange cela m'évitera de l'écrire. Merci d'avance. B-)-
Gebrane, ce n'est pas ma preuve ! C'est celle de fedja sur Mathoverflow.
L'exercice était déjà sur tapé sur mon ordi... donc je n'ai fait que le copier ici (d'où l'erreur du $F$ qui ne voulait pas devenir $f$).
Bref, tu peux la réutiliser... je n'ai pas besoin de plus de réputation :)o
Réponses
Si $x$ est négatif, le terme général n'a-t-il pas une forme qui te rappelle quelque chose?
Edit: et de plus, cette inégalité est une trivialité.
Pour $x$ négatif, on peut itérer le fait que $\exp(x-1) = \exp(x) / e$, et $e=\exp(1)>0$.
Bof! plutôt: pour $x>0$, $\exp(-x) =1/\exp(x)>0$.
Si on trouvait une équation fonctionnelle pour la fonction d'etanche, ça pourrait aider. J'ai pas mal essayé, sans trop de succès.
Du coup, i.zitoussi cherche une équation fonctionnelle facile pour cette autre série, mais si elle était si facile, on nous l'aurait dite en terminale, probablement, non ?
Je pense que tu devrais détailler un peu ton indice, gebrane !
Vraiment si quelqu'un trouve avec ces moyens personnels
alors bravo.
C'est une question fortement déconseillée pour les amateurs, réservée pour les hautes voltiges de ce forum et je sais de quoi je parle
$$
f(x)f(-x) = \sum_{n\geq 0}a_n\frac{x^n}{\sqrt{n!}}, \qquad \mathrm{avec} \quad
a_n = \sum_{i=0}^{n}(-1)^i\binom{n}{i}^{1/2}.$$
On déduit, $a_n>0$ pour $n$ pair, et $a_n=0$ pour $n$ impair.
Donc $f(x)f(-x)>0$ pour tout $x$, d'où le résultat, puisque pour $x>0$, $f(x)>0$.
A confirmer...
Edit: j'ai été un peu vite. Le fait que $a_n>0$ pour $n$ pair n'est pas si évident que ça... Problème intéressant.
Bonne nuit, je m'alite
Dans le cas où x<0 , je croyais naîvement que pour toute série alternée vérifiant le critère spécial des séries alternées, la somme S de la série était encadrée par les sommes partielles (adjacentes) de rang pair et impair.
Deux sommes partielles strictement positives , S2(x) et S3(x) par exemple, suffiraient donc à prouver que S(x)>0 dans ce cas .
Où est l'erreur ?
Cordialement
Merci!!
PS/ désolé , je ne suis plus étanche , je prends l'eau .... je suis coulé !
On peut avoir des idées , encore faut-il qu'elles aboutissent à la conclusion ...
Par exemple: vérifier que $ f(x) > 0$ pour $ -1 \leq x <0 $ ( facile) , puis essayer de montrer que $ f(x) f(\dfrac{1}{x}) >0 $ avec un produit de Cauchy .
Pas évident de toutes façons ...
Bon courage.
Si on lui rajoute une question 2)bis ainsi : il devient tout de suite plus intéressant !
Il me semble que c'est tiré d'un exercice d'oral de Polytechnique... mais je n'ai pas retrouvé la référence.
C'est moi qui ai ajouté la question numérotée 3, et il est possible que le candidat n'ait pas eu le temps d'arriver à la question 2bis, mais qu'elle ait été prévue par l'examinateur.
La preuve de bisam est mieux conçu avec ces étapes non?
Je n’y connais rien, ça offre quelque chose d’estimable ?
Par exemple quand je pose une question ici , personne ne me dit gebrane qu'as tu essayé , qu'as tu fais ? :-D
En fait je comprends l’idée un peu mieux...
« Privilèges » de quel genre ? (Pardon je dévie mais pas pour longtemps)
Créer un fil ? Des trucs comme ça ?
Ça paraît dingue mais je n’y connais rien sur la pratique des forums, vraiment rien.
C'est bon pour l'égo. B-)-
Je vise les 10 000 points sur MathExchange. Quand je les aurais atteints je ne serais pas plus riche et je n'aurais marché sur la g... de personne. J'aime les compétitions dans lesquelles les perdants ne se retrouvent pas à dormir sous un pont.
Puisqu'on parle de ça, si quelqu'un a déjà sous la main un script pour archiver des messages sur MathExchange cela m'évitera de l'écrire. Merci d'avance. B-)-
L'exercice était déjà sur tapé sur mon ordi... donc je n'ai fait que le copier ici (d'où l'erreur du $F$ qui ne voulait pas devenir $f$).
Bref, tu peux la réutiliser... je n'ai pas besoin de plus de réputation :)o