Existence d'une limite (série)
Bonjour,
Je vous soumets un problème que je me suis posé. J'en ai trouvé une solution, mais qui ne me satisfait que moyennement (c'est assez lourd). Peut-être l'un d'entre vous aura-t-il une meilleure idée :
Pour tout $x>0$, on pose $S(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} e^{i\sqrt{n}}e^{-nx}$. Montrer que $S$ admet une limite finie en $0$ (à droite).
Bonus : 1) En notant $L$ cette limite. Peut-on exprimer $L$ à l'aide de fonctions/constantes usuelles ?
2) Déterminer un équivalent (voire plus) de $S(x)-L$ en $0$.
Remarque : numériquement, $L \approx -1.4583 - 0.2036i$.
Je vous soumets un problème que je me suis posé. J'en ai trouvé une solution, mais qui ne me satisfait que moyennement (c'est assez lourd). Peut-être l'un d'entre vous aura-t-il une meilleure idée :
Pour tout $x>0$, on pose $S(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} e^{i\sqrt{n}}e^{-nx}$. Montrer que $S$ admet une limite finie en $0$ (à droite).
Bonus : 1) En notant $L$ cette limite. Peut-on exprimer $L$ à l'aide de fonctions/constantes usuelles ?
2) Déterminer un équivalent (voire plus) de $S(x)-L$ en $0$.
Remarque : numériquement, $L \approx -1.4583 - 0.2036i$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
C'est juste pour faire un up
si on prend la partie réelle de S, elle est étonnante cette limite en $0^+$ de
$\sum_{n=0}^{+\infty} \cos(\sqrt{n})e^{-nx}$, je ne sais pas s' il y a un lien avec $\int_0^{+\infty} \cos(\sqrt t) e^{-nt} dt$
$$\int_0^{+\infty} \cos(\sqrt t) e^{-pt} dt=\frac{e^{-\frac{1}{4p}}}{2p} \sqrt{\frac{\pi}{p}}$$ de limite nulle en $p=0^+$ c'est pourquoi j'ai dit s'il y a un lien entre la série et l’intégrale
Le problème est la différence entre la somme et l'intégrale.
Je ne vois même pas comment démontrer que la limite de S existe en $0^+$
En reprenant les notations de la page wikipedia, on a $f(t) = e^{\sqrt{t}}e^{-xt}$, on prend $m=1$ et on fait tendre $n$ vers $+\infty$. On se retrouve avec $S(x) = \displaystyle \int_1^{+\infty} e^{i\sqrt{t}}e^{-xt}dt + \text{des termes gentils} + \dfrac{1}{6}\displaystyle \int_1^{+\infty} f'''(t) P_3(t)$.
Il faut alors regarder comment se comporte tout ça quand $x$ tend vers $0$.
Le cas de $\displaystyle \int_1^{+\infty} e^{i\sqrt{t}}e^{-xt}dt$ se fait explicitement, à coups de changements de variables et IPP, et le cas de $\displaystyle \int_1^{+\infty} f'''(t) P_3(t)$ se fait par majorations/convergence dominée.
$$S(x) = 1 + \sum_{n=1}^\infty e^{i \sqrt n - nx} = 1 + \int_{1/2}^\infty e^{i \sqrt t - tx} \, \textrm{d}t + \int_{1/2}^{1/2+i \infty} \frac{e^{i \sqrt z - tz}}{e^{-2 \pi i z} - 1} \, \textrm{d}z + \int_{1/2}^{1/2-i \infty} \frac{e^{i \sqrt z - tz}}{e^{2 \pi i z} - 1} \, \textrm{d}z := 1 + I_0 + I_1 + I_2$$
où l'on prend la détermination principale de la racine carrée, et où la valeur $\frac{1}{2}$ peut être remplacée par n'importe quel nombre de $\left] 0 ,1 \right[$.
En posant $z= \frac{1}{2} + it$ avec $t \geqslant 0$ dans $I_1$, et de même $z = \frac{1}{2} - it$, $t \geqslant 0$, dans $I_2$, et en majorant brutalement les modules des intégrales par les intégrales des modules, on obtient (sauf erreur)
$$\forall x > 0, \quad S(x) = 1 + \int_{1/2}^\infty e^{i \sqrt t - tx} \, \textrm{d}t + O^\star \left( \tfrac{1}{4} e^{-x/2} \right).$$
Au reste du monde. Y a t-il plus simple 8-)
On n'a pas de forme close, mais Euler-MacLaurin donne quand même la limite à l'aide d'une intégrale.
On a $L = \displaystyle \dfrac{1}{24}\Big[24 - 36\cos(1) - 47\sin(1) + i\left(-36\cos(1)+47\sin(1)\right) \Big] + \int_1^{+\infty} g(t) P_3(t) dt$, où $P_3$ est la fonction $1$-périodique telle que $P_3(t) = t^3 - \dfrac{3}{2}t^2+\dfrac{1}{2}t$ pour tout $t\in [0;1]$, et $g(t) = \dfrac{ie^{i\sqrt{t}}}{16t^{5/2}} + \dfrac{e^{i\sqrt{t}}}{16t^{2}} - \dfrac{ie^{i\sqrt{t}}}{48t^{3/2}}$.
C'est malin ! J'étais passé à autre chose, et tu m'obliges à me replonger dans ce problème :-D
C'est l'équivalent de la première somme (celle avec les $\dfrac{1}{n^{3/2}}$) pour les sinus. En décomposant en série entières, on peut peut-être arriver à une série qui converge très rapidement, comme dans le cas du sinus, mais là, j'ai un peu la flemme. J'y reviendrai plus tard.
\[ S(0^+) = \dfrac{-3}{2} - 2\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n (2n-1)! \zeta(2n)}{(2 \pi)^{2n}(4n-2)!} \]
La série converge très rapidement et donne : $ S(0^+)=-1.458344906313910787347243035624634427851460499682774536969303864764253787494276...$
(:D
A vrai dire, j'ai cru que tu voulais développer une nouvelle notion: une certaine transformée de Laplace pour les suites
On appelle transformée de Laplace d'une suite $(a_n)$ en x, la somme de la série $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} a_n e^{-nx}$ "lorsque la série converge"
Exemples
$L(1)(x)=\frac{e^x}{e^x-1}$
$L(n)(x)=\frac{e^x}{(e^x-1)^2}$
$L(\frac 1{n+1})(x)=-(1+(1-e^{-x})\ln(e^x))$
Apres tu t'es intéressé à $L((a_n))( 0^+)$ ( au sens d'une limite ) en analogie pour la TL des fonctions $L(f)(0^+)=\int_0^{+\infty} f(x) dx$ ( sous conditions) qui peut donner un sens à $\int_0^{+\infty} f(x) dx$ en cas de divergence
C'est précisément l'objet du théorème d'Abel : la convergence au sens usuel entraîne la convergence au sens d'Abel. Les réciproques de ce genre d'énoncés sont appelées théorèmes taubériens, c'est tout un domaine d'étude. Je recommande le livre Tauberian theory de Korevaar pour voir toute l'étendue de la chose.