Dérivée de x^^n ? (notation Knuth)
dans Analyse
Bonsoir à tous
Je viens ici vous demander si vous connaissez une expression de la dérivée (par rapport à x bien sûr) de x^^n. Où "^^" est la notation des puissances itérées de Knuth (Normalement deux flèches vers le haut que le forum m'empêche d'écrire).
Pour ceux qui ne connaissent pas : $
x\uparrow\uparrow n = \underbrace{x^{x^{x^\ldots}}}_{n\text{ fois}}$
Ou alors :
$x\uparrow\uparrow 0= 1$
$x\uparrow\uparrow (n+1) = x^{x\uparrow\uparrow n}$, quelque soit $n$ entier naturel.
Merci ! (:P)
Je viens ici vous demander si vous connaissez une expression de la dérivée (par rapport à x bien sûr) de x^^n. Où "^^" est la notation des puissances itérées de Knuth (Normalement deux flèches vers le haut que le forum m'empêche d'écrire).
Pour ceux qui ne connaissent pas : $
x\uparrow\uparrow n = \underbrace{x^{x^{x^\ldots}}}_{n\text{ fois}}$
Ou alors :
$x\uparrow\uparrow 0= 1$
$x\uparrow\uparrow (n+1) = x^{x\uparrow\uparrow n}$, quelque soit $n$ entier naturel.
Merci ! (:P)
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Réponses
> Récurrence
Et comment ?
&=\frac{d}{dx}\left(x^{x\uparrow\uparrow (n-1)}\right)\\
&=\frac{d}{dx}\left(e^{x\uparrow\uparrow (n-1)\cdot\log x}\right)\\
&=e^{x\uparrow\uparrow (n-1)\cdot\log x}\left(\frac{x\uparrow\uparrow (n-1)}{x}+\log x\cdot\frac{d}{dx}\left(x\uparrow\uparrow (n-1)\right)\right)\\
&=x\uparrow\uparrow n\left(\frac{x\uparrow\uparrow (n-1)}{x}+\log x\cdot\frac{d}{dx}\left(x\uparrow\uparrow (n-1)\right)\right)\end{align*}
J'ai trouvé également cette relation mais je cherche en fonction de n et de x l'expression de la dérivée de x^^n si cela est possible...
Je pensais que cela serait possible par les suites, me trompé-je ?
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
Avec cette formule de récurrence, on doit pouvoir trouver une formule explicite sous la forme d'une somme de produits.
$$ C'est juste ?
-- Schnoebelen, Philippe