Déterminer l'existence d'une limite

linalili · February 2021

Bonjour tout le monde j'espère que vous allez bien,
je suis bloqué dans une limite, je n'arrive pas à déterminer est-ce qu'elle existe ou pas !!
$$
\lim_{\alpha \rightarrow \infty } \frac{\Lambda t^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)} ,
$$ avec $t \in \R^{+}$ et $\Gamma(\alpha) = \int_{0}^{\infty} s^{\alpha-1}\exp(-s) d s$ et $\Lambda$ une constante dans $\R^+$.

Merci d'avance.

YvesM · February 2021

Bonjour,

Tu n’as pas défini $\lambda$ et $\Lambda.$

gebrane · February 2021

C'est facile $\lim_{\lambda \rightarrow \infty } \frac{\Lambda t^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}=\frac{\Lambda t^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}$

linalili · February 2021

@gebrane et @YvesM
désolé j'ai pas fait attention, j'ai corrigé maintenant.

YvesM · February 2021

Bonjour,

Changement de variables $s\leadsto u$ avec $s=t u$ pour $t\neq 0.$

linalili · February 2021

@YvesM ,
je vous remercie, je pense c'est clair maintenant, après avoir appliqué ce changement de variable $s = t u$, pour $t \neq 0$ on obtient :
$$
\lim _{\alpha \rightarrow \infty} \frac{\Lambda t^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)} = \lim _{u \rightarrow \infty} \frac{\Lambda }{t \int_{0}^{\infty} u^{\alpha-1} \exp (-t u ) d u}.

$$ On obtient
$$ \lim _{\alpha \rightarrow \infty} \frac{\Lambda t^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)} < \frac{\Lambda}{t}.$$

Poirot · February 2021

Si $t \leq 1$ la limite est clairement $0$. On prend donc $t > 1$ désormais. Pour $n$ entier, on a $\Gamma(n) = (n-1)! \underset{n \to +\infty}{\sim} \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$. Or si $n \leq \alpha \leq n+1$, on a $\Gamma(t) \geq \Gamma(n)$ et $t^{\alpha - 1} \leq t^n$. On en déduit facilement la limite.

linalili · February 2021

@Poirot
Merci bienpour votre réponse!!
Donc la limite c'est zéro dans tout les cas.

Bon journeé.

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