Fonction analytique (vérification)
dans Analyse
Bonjour tout le monde,
j'ai fait une petite démonstration, j'aimerai bien que vous me donner votre avis s'il vous plait:
soit $\Omega = (0,1)$ et $\omega \varsubsetneqq \Omega$, j'ai $f(x) = \sum_{k \in \mathbb{Z}^{*}} a_{k} e^{-\lambda_{k} \tau} \Phi^{k}(x)=0, \quad$ pp in $\omega$ avec $\left( \Phi^{k}\right)_{k \in \mathbf{Z}}$ * is an orthonormal basis in a Hilbert space $H,$.
je veux montrer que $a_k$ sont nulle.!!
puisque f est une fonction continue et elle est presque par tout nulle en $\omega$, alors elle est nulle par tout sur $\omega$.
d'autre part, puisqque $f$ est une fonction analytique qui est nulle en $\omega \varsubsetneqq \Omega$ alors elle est nulle partout sur $\Omega$. Ensuite on a
$f =0$ sur $\Omega$ $\Longrightarrow \| f \|_{H} =0$ donc $\sum_{k \in \mathbb{Z}^{*}}\left|a_{k}\right|^{2}\left|e^{-\lambda_{k} \tau}\right|^{2}=0$
d'ou $\sum_{k \in \mathbb{Z}^{*}}\left|a_{k}\right|^{2} =0$
enfin $ a_k = 0 $ for $k = 1,\dots,n$.
j'ai fait une petite démonstration, j'aimerai bien que vous me donner votre avis s'il vous plait:
soit $\Omega = (0,1)$ et $\omega \varsubsetneqq \Omega$, j'ai $f(x) = \sum_{k \in \mathbb{Z}^{*}} a_{k} e^{-\lambda_{k} \tau} \Phi^{k}(x)=0, \quad$ pp in $\omega$ avec $\left( \Phi^{k}\right)_{k \in \mathbf{Z}}$ * is an orthonormal basis in a Hilbert space $H,$.
je veux montrer que $a_k$ sont nulle.!!
puisque f est une fonction continue et elle est presque par tout nulle en $\omega$, alors elle est nulle par tout sur $\omega$.
d'autre part, puisqque $f$ est une fonction analytique qui est nulle en $\omega \varsubsetneqq \Omega$ alors elle est nulle partout sur $\Omega$. Ensuite on a
$f =0$ sur $\Omega$ $\Longrightarrow \| f \|_{H} =0$ donc $\sum_{k \in \mathbb{Z}^{*}}\left|a_{k}\right|^{2}\left|e^{-\lambda_{k} \tau}\right|^{2}=0$
d'ou $\sum_{k \in \mathbb{Z}^{*}}\left|a_{k}\right|^{2} =0$
enfin $ a_k = 0 $ for $k = 1,\dots,n$.
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Réponses
Ensuite on a $f =0 \Longrightarrow $...... Donc $f$ est nulle.
ah oui oui je n'ai pas fait attention, je n'ai pas bien posé la question, dsl désolé.
C'est corrigé maintenant, merci.
Du moment que tu démontres que $\sum_{k \in \mathbb{Z}^{*}} \alpha_k \Phi^{k}(x)=0$ sur $\Omega$ avec $\alpha_k=...$ c'est fini par définition d'une base
La question de l'exercice était de montrer que si la fonction $f$ et nulle pp sur $\omega$ alors les coefficients $a_k$ sont nuls.
Est-ce que ma démonstration est juste ?