Intégrale inégalité oral centrale année 80

etanche
etanche
dans Analyse
Bonjour
$f$ de $[0;1]$ dans $\R, \ \mathcal C^{1}$ , $|f’|\leq 1$ , $2|\int_{0}^{1}f|\leq 1$.
1/ Montrer que pour tout $ n \geq 0$ entier
$(n+2)|\int_{0}^{1}x^{n+1}f(x)dx |\leq 1$.

2/ A-t-on pour tout $ n \geq 0$ entier $(n+2)|\int_{0}^{1}x^n f(x)dx | \leq 1$ ?
Merci.

Modification du $x^{n}$ en $x^{n+1}$ d’après oty20
Suite au message de Titi le curieux j’ai ajouté une question 2/

Réponses

  • oty20
    oty20
    je crois que c'est un $x^{n+1}$ au lieu de $x^{n}$.
    $$\Big|(n+2)\int_{0}^{1} x^{n+1} f(x) \Big| \leq |(n+2) \int_{0}^{1} x^{n+1} f(x) - \int_{0}^{1} f(x)| + \Big|\int_{0}^{1} f(x) \Big|.

    $$ Ensuite :
    soit $m(x)=x^{n+2} - x$ , $m(0)=m(1)=0$ , $m'(x)=(n+2)x^{n+1}-1$ donc si $A=(n+2) \int_{0}^{1} x^{n+1} f(x) - \int_{0}^{1} f(x)$ on a :
    $$
    A=\int_{0}^{1} m'(x) f(x) = [m(x)f(x)]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} m(x)f'(x)$$ donc
    $$
    |A| \leq \int_{0}^{1} |m(x)| =\int_{0}^{1} x-x^{n+2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{n+3} \leq \frac{1}{2}.

    $$ En ajoutant : $|\int_{0}^{1} f(x) | \leq \frac{1}{2}$ cela permet de conclure.
  • etanche
    etanche
    @oty20 possible que c’est $x^{n+1}$ c’est un ingénieur qui a passé Centrale dans les années 80 qui m’a remis cet exercice.

    Ajoutons une question étudier le cas d’égalité.
  • Titi le curieux
    Titi le curieux
    Bonjour,

    En ce qui me concerne, j'ai plutôt confiance en l'énoncé pour le $x^n$, mais je ne sais pas trop si il faut continuer sur les intégrations par parties ou partir sur du $f$ est 1-lipschitzienne et s'en servir pour montrer que $\forall x\in ]0,1[, |f(x)|<1$ puis trouver un moyen de montrer que $\forall n>0$, le maximum n'est atteint qu'avec la fonction $f(x)=x$ ou son opposée (mais je crois que l'idée lance sur un truc long et barbant si on veut le faire rigoureusement).
  • ev
    ev
    possible possible.

    On n'a pas trop le choix dans le cas de $f(x) := x$.

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • O.G.
    O.G.
    Je ne connaissais pas cet exo, je fais une tentative avec l'énoncé en $n+2$. Je suppose que $0\leq\int_0^1 f(x)dx\leq 1/2$ et que la quantité en $n$ est positive (ok j'exagère)

    $$\int_0^1 x^n f(x) dx= \int_0^1 x^n (f(x)-x)dx + \frac{1}{n+2}.$$

    On essaie de montrer que $\int_0^1 x^n (f(x)-x)dx \leq 0$. Avec les hypothèses la fonction $f(x)-x$ est décroissante, d'intégrale négative, elle est donc positive sur $[0,c]$ et négative sur $[c,1]$. On écrit alors
    $$\int_0^1 x^n (f(x)-x)dx = \int_0^1 (x^n-c^n) (f(x)-x) dx + c^n \int_0^1 f(x)-x dx$$
    et les deux termes sont négatifs, ce qui permet de conclure.

    Il faudrait améliorer le tout (puisque j'exagère).
  • oty20
    oty20
    Je pense que l'approche que j'ai utilisé marche toujours : avec $M_{n}=\int_{0}^{1} t^{n} f(t) dt $
    $$
    \Big|(n+1)\int_{0}^{1} x^{n} f(x) \Big| \leq |(n+1) \int_{0}^{1} x^{n} f(x) - \int_{0}^{1} f(x)| + \Big|\int_{0}^{1} f(x) \Big|.
    $$ Donc
    $$(n+1)|M_{n}|\leq |(n+1) \int_{0}^{1} x^{n} f(x) - \int_{0}^{1} f(x)| + \Big|\int_{0}^{1} f(x) \Big|.

    $$ Ensuite on pose $m(t)=t^{n+1}-t$ on a $m(0)=m(1)=0$ et :
    $$
    (n+1) \int_{0}^{1} x^{n} f(x) - \int_{0}^{1} f(x)= \int_{0}^{1} m'(t) f(t)= [m(t) f(t)]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} m(t) f'(t) .
    $$ Donc par inégalité triangulaire :
    $$
    |(n+1) \int_{0}^{1} x^{n} f(x) - \int_{0}^{1} f(x)| \leq \int_{0}^{1} (x-x^{n+1}) dx = \frac{1}{2}-\frac{1}{n+2} .

    $$ Ainsi :
    $$
    |M_{n}| \leq \frac{1}{2(n+1)} -\frac{1}{(n+1)(n+2)} + \frac{1}{2(n+1)}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n+2}.$$
  • side
    side
    supp
  • O.G.
    O.G.
    Bref je me suis fatigué pour rien :(
  • jandri
    jandri
    Je propose une preuve toute simple inspirée par ce qui a déjà été écrit mais en généralisant un peu.
    Je ne fais pas d'intégration par parties mais le changement de variable $t=x^{a+1}$.

    Soit $f$ supposée1-lipschitzienne de $[0,1]$ dans $\R$ et $a >-1$ un réel. Soit $M_a=\displaystyle\int_0^1 x^a f(x)dx$ (intégrale convergente car $a>-1$).
    On suppose $|M_0|\leq\dfrac12$.

    Par $t=x^{a+1}$ on a : $|(a+1)M_a-M_0|=\left|\displaystyle\int_0^1(f(t^{1/(a+1)})-f(t))dt\right|\leq\displaystyle\int_0^1|t^{1/(a+1)}-t|dt=\left|\dfrac{a+1}{a+2}-\dfrac12\right|$
    d'où $|(a+1)M_a|\leq\dfrac12+\left|\dfrac{a+1}{a+2}-\dfrac12\right|$

    Si $a>0$ on obtient $|M_a|\leq\dfrac1{a+2}$ avec égalité par exemple pour $f(x)=x$
    Si $-1<a<0$ on obtient $|M_a|\leq\dfrac1{(a+1)(a+2)}$ avec égalité par exemple pour $f(x)=1-x$
  • etanche
    etanche
    @ merci à oty20, Titi le curieux , e.v. , OG , side , jandri pour vos réponses
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