Dérivation d'une intégrale à paramètre

En principe la domination est indispensable, il y a des contre-exemples lorsqu'elle fait défaut, mais il faut que je les retrouve. Dans ton exemple, écris donc : $ \displaystyle f(x) = e^x \int_{x}^{+\infty}\dfrac{e^{-t}}{t}dt$, et tes ennuis seront terminés.
Bonne nuit.
Fr. Ch.

supp

@ Balitran. Il y a deux choses en question.

1. D'abord, tu as ton problème posé : étudier la fonction $x\mapsto \displaystyle f(x) = \int_{x}^{+\infty}\dfrac{e^{x-t}}{t}dt$ sur $ ]0,+ \infty[$.
Nous t'avons suggéré d'écrire : $ \displaystyle f(x) = e^x \int_{x}^{+\infty}\dfrac{e^{-t}}{t}dt$, ce qui donne tout de suite le caractère $\mathcal C^1$ de la fonction $f$, et même $\mathcal C^2$ ou plus, et te permet de dériver, sans utiliser aucun théorème de domination. Tu peux donc étudier la fonction : variations, limites, et même convexité. Si tu veux, tu nous diras si tu l'as fait.

2. Tu poses de plus la question générale : si $\displaystyle f(x)=\int_{x}^{+\infty }g(x,t)dt$, a-t-on : $\displaystyle f^{~\prime }(x)=\int_{x}^{+\infty }\frac{\partial g(x,t)}{\partial x}dt$ ?
Tu as le théorème qui assure cette assertion, moyennant des hypothèses appropriées, dont la domination. Mais ce théorème porte sur une fonction $\displaystyle f(x)=\int_I g(x,t)dt$, où $I$ est un intervalle fixé, ne dépendant pas de la variable $x$.
Si tu essaies d'appliquer tout de même la formule de dérivation sous $\displaystyle \int$ au présent problème, avec $ \displaystyle f(x) = \int_{x}^{+\infty}\dfrac{e^{x-t}}{t}dt$, tu obtiens : $\displaystyle f^{~\prime }(x)=\int_{x}^{+\infty }\frac{\partial }{\partial x}(\frac{%
e^{x-t}}{t})dt=\int_{x}^{+\infty }\frac{\partial }{\partial x}(\frac{e^{-t}}{%
t}e^{x})dt=\int_{x}^{+\infty }\frac{e^{-t}}{t}e^{x}dt=f(x)$.
Or, si tu cherches vraiment $f^{~\prime }(x)$ par la méthode élémentaire vue plus haut, tu verras que c'est faux.

Bonne journée.
Fr. Ch.

Quelle est la dérivée de $f(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}g(x,t)dt$ ?