Originale de Laplace de $1/p \exp(\sqrt{ap})$

Aguelord · December 2020

Bonsoir,

Connait-on l'originale de Laplace de $p\longmapsto \frac{1}{p}\exp(\sqrt{ap})$ ?

Bonne soirée,
A.V

Poirot · December 2020

Qu'est-ce que tu appelles originale de Laplace ?

Aguelord · December 2020

Poirot
La fonction réelle qui a pour transformée de Laplace la fonction complexe que j'ai citée.

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

P. · December 2020

Cela depend du sens donne a $\sqrt{ap}$ si $a$ n'est pas positif. Par exemple $e^{-\sqrt{2p}}$ est l'esperance de $ e^{-p/Z^2}$ avec $Z\sim N(0,1)$ et $1/p=\int_{0}^{\infty}e^{-px}dx.$ Le produit est la TF de Laplace de la convolution des deux mesures correspondantes. Ainsi si $f$ est la densite de $1/Z^2$ la densite cherchee est $g(x)=\int_{0}^x f(x-y)dy=\int_{0}^x f(y)dy.$

marsup · December 2020

Pour voir si j'ai bien compris, pour $\Phi(x) = \int_{-\infty}^x n(t) dt$, avec $n(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \exp(-\frac{t^2}{2})$, la réponse est : $
\begin{aligned}[t]
f(x) & = 2 \cdot \Phi\big(-\frac{1}{\sqrt x}\big) \\
& = 1 - \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \cdot \int_{0}^{\frac1{\sqrt{x}}} e^{-\frac{t^2}{2}} dt. \\
\end{aligned}
$

C'est bien ça ?

Originale de Laplace de $1/p \exp(\sqrt{ap})$

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