Trouver un sous-ensemble non borélien
Bonjour,
Quelqu'un saurait-il expliciter / exhiber / décrire / montrer / etc., un sous-ensemble non borélien de l'ensemble (triadique) de Cantor ?
Sachant que l'ensemble de Cantor est lui-même un borélien de mesure de Lebesgue nulle, c'est important pour en déduire que la mesure de Lebesgue n'est pas complète sur les boréliens de $\mathbb{R}$.
(Si j'ai bien compris...)
Je cherche un exemple précis et simplement appréhendable, car mes recherches (sans doute insuffisantes) ne tombent que sur des phrases dilatoires du style "soit A un sous - ensemble non borélien dans l'ensemble de Cantor". Oui, bon, d'accord, mais j'aimerais bien en "voir" un, quand même...
Merci.
Quelqu'un saurait-il expliciter / exhiber / décrire / montrer / etc., un sous-ensemble non borélien de l'ensemble (triadique) de Cantor ?
Sachant que l'ensemble de Cantor est lui-même un borélien de mesure de Lebesgue nulle, c'est important pour en déduire que la mesure de Lebesgue n'est pas complète sur les boréliens de $\mathbb{R}$.
(Si j'ai bien compris...)
Je cherche un exemple précis et simplement appréhendable, car mes recherches (sans doute insuffisantes) ne tombent que sur des phrases dilatoires du style "soit A un sous - ensemble non borélien dans l'ensemble de Cantor". Oui, bon, d'accord, mais j'aimerais bien en "voir" un, quand même...
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Réponses
Mais l'ensemble des parties bien ordonnées pour l'ordre usuelle de Q n'est pas borelien. Via une bijection entre Q et IN ça t'en donne un facilement.
Dis plutôt "j'ai utilisé l'axiome du choix"
Il y a un exemple de non borélien "explicite" donné sur cette page wikipedia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Tribu_de_Lebesgue#Ensembles_mesurables_non_boréliens
Je cherchais un non borélien de mesure négligeable, c'est-à-dire inclus dans un borélien de mesure nulle...
la $n$ième décimale vaut 3 quand $n\in A$ et
la $n$ième décimale vaut 5 quand $n\notin A$.
Ça te donne une partie de mesure nulle (via une bijection de $\Q\to \N$).
C'est un peu cryptique pour moi ce que tu dis.
Tu dis "L'ensemble des parties de $\Q$ qui sont bien ordonnées (par l'ordre usuel) n'est pas borélien". Pour parler de borélien (i.e élément d'une tribu engendrée par les ouverts d'une topologie), c'est donc que tu as placé une topologie sur l'ensemble des parties de $\Q$. Laquelle précisément ?
Après, tu dis qu'on peut supposer $\R$ réunion dénombrable de parties dénombrables. Mais alors comment procède-t-on pour montrer que $\R$ n'est pas dénombrable ?
Sans AUCUN axiome du choix, $\R$ qui n'est pas dénombrable peut être supposée réunion dénombrable de parties dénombrables. Essaie de prouver le contraire tu vas voir :-D
La preuve (ou les) de non dénombrabilité de $\R$ n'est pas en question (elle est constructive et célèbre et n'utilise aucun axiome du choix)
Je ne comprends pas la deuxième non plus. Si $\R$ est réunion dénombrable de parties dénombrables, il ne peut pas être non dénombrable non ?
Via une bijection entre $\Q$ et $\N$, tu peux voir une partie de $\Q$ comme une suite de 0 et de 1.