Question simple sur les distributions

Bonjour à tous
Je suis en école d'ingé et je m’entraîne aux partiels de mathématiques appliquées. La première question est :

La fonction $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ définie par $f(x)=x^2+1$ si $x\geq 0$ et $f(x)=-1$ si $x<0$ n'est ni continue, ni linéaire. Est-ce une distribution ? Si oui, est-ce une distribution régulière ? Si non, pourquoi ?

Pour moi, la question "$f$ est-elle une distribution" n'a pas de sens. Il faudrait plutôt dire "$f$ représente-t-elle une distribution ?"

Du coup, j'ai montré que $\forall\varphi,\ <f,\varphi>\,=\,<2H-1+Hx^2,\varphi>$ (petit abus de langage ici mais vous avez compris), où $H$ est la distribution d'Heavyside. Immédiatement on a $2H$ qui est une distribution, "$1$" aussi et la fonction carré est une fonction $C $infini donc $x^2H$ reste une distribution.
Donc $2H-1+Hx^2$ est une distribution. Ainsi $f$ représente la distribution $T_f=2H-1+Hx^2$.

$T_f$ est régulière puisque par définition elle est représentée par la fonction $f$ qui est localement intégrable (car continue par morceaux).

J'ai l'impression que le prof nous a mal posé le problème. Qu'en pensez-vous ?
Merci.
A.V